Logaritmo natural

Logaritmo natural
Gráfica de Logaritmo natural
Definición	$\ln(x)=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}},x>0\,$
Tipo	Función real
Descubridor(es)	Nikolaus Mercator (1668)​
Dominio	$(0,+\infty )$
Codominio	$(-\infty ,+\infty )$
Imagen	$(-\infty ,+\infty )$
Propiedades	Biyectiva Cóncava Estrictamente creciente Continua Trascendente
Cálculo infinitesimal
Derivada	${\frac {1}{x}}$
Función inversa	$e^{x}\,$
Límites	$\lim _{x\to 0^{+}}\ln(x)=-\infty \,$ $\lim _{x\to +\infty }\ln(x)=+\infty \,$
Funciones relacionadas	Logaritmo Función exponencial

El logaritmo natural suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano, aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmo neperiano.

En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo neperiano al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es 2,7182818284590452353602874713527. El logaritmo natural se suele denominar como ln(x) o a veces como log_e(x), porque para ese número se cumple la propiedad de que el logaritmo vale 1.

El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser elevado el número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya que e²=7,38905... El logaritmo de e es 1, ya que e¹=e.

Desde el punto de vista del análisis matemático, puede definirse para cualquier número real positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de esta definición es la que justifica la denominación de «natural» para el logaritmo con esta base concreta.​ Esta definición puede extenderse a los números complejos.

El logaritmo natural es entonces una función real con dominio de definición los números reales positivos:

${\text{ln}}:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$

y corresponde a la función inversa de la función exponencial:

$e^{{\text{ln}}\,x}=x{\text{, para todo }}x>0$

${\text{ln}}(e^{x})=x\!$

Historia

La primera mención del logaritmo natural fue dada por Nikolaus Mercator en su trabajo Logarithmotechnia publicado en 1668,​ a pesar de que el profesor de matemáticas John Speidell ya lo había hecho en 1619 recopilando una tabla sobre valores del logaritmo natural.​ Fue llamado formalmente como logaritmo hiperbólico,​ puesto que sus valores correspondían con los del área hallada bajo la hipérbola. A veces también se refiere al logaritmo neperiano, a pesar de que el significado original de este término es ligeramente diferente.

Origen del término logaritmo natural

Inicialmente, y desde que el sistema decimal se volvió el sistema de numeración más común, podría parecer que la base 10 fuese más «natural» que la base e. Pero matemáticamente, el número 10 no es particularmente significativo. Su uso cultural—como base numérica para muchas sociedades—probablemente surge del típico número de dedos humanos.​ Otras culturas basaron sus sistemas de numeración eligiendo diversas bases como 5, 8, 12, 20, y 60.​​​

log_e es el logaritmo «natural» porque automáticamente surge, y aparece más comúnmente, en matemáticas. Por ejemplo, consideremos el problema de derivar una función logarítmica:​

${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{\ln(b)}}\ln {x}\right)={\frac {1}{\ln(b)}}{\frac {d}{dx}}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(b)}}$

Si la base b es igual a e, entonces la derivada es simplemente 1/x, y en x = 1 esta derivada es igual a 1. Otra razón por la cual el logaritmo de base -e- es el más natural es que puede ser definido muy fácilmente en términos de una integral o por series de Taylor y esto no sería tan sencillo si el logaritmo fuera de otra base.

Sentidos adicionales de esta naturalidad no hacen uso del cálculo. Como ejemplo, tenemos un número de series simples relacionadas con el logaritmo natural. Además de que Pietro Mengoli y Nicholas Mercator lo llamaron logarithmus naturalis unas décadas antes de que Newton y Leibniz desarrollaran el cálculo.​

Definición

ln(x) normalmente se representa como el área bajo la curva f(t) = 1/t de 1 hasta x. Si x es menor que 1, el área de x hasta 1 se toma como negativa.

Formalmente, la función ln(x) se define para valores reales positivos, como el área bajo la gráfica de 1/t entre 1 y x. Esta área corresponde a una integral:

La función logaritmo natural ln:R+→R se define como: $\ln(x):=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\,$

Mediante esta definición es inmediato comprobar que esta función cumple la propiedad fundamental de todo logaritmo:

$\ln(x\cdot y)=\ln(x)+\ln(y)$,

Demostración

En efecto, el logaritmo del producto de dos números positivos es: $\ln(x\cdot y)=\int _{1}^{x\cdot y}{\frac {dt}{t}}$ Se puede entonces descomponer la integral en dos tramos y aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo: $\ln(x\cdot y)=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}+\int _{x}^{x\cdot y}{\frac {dt}{t}}$ Realizando el cambio de variable s=t/x en la segunda integral, se obtiene: $\ln(x\cdot y)=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}+\int _{1}^{y}{\frac {ds}{s}}=\ln(x)+\ln(y)$

El número para el cual esta función vale 1 resulta ser el número e. Por lo tanto, ln es el logaritmo con base e, o sea, la función inversa de e^x.

Propiedades

El logaritmo natural cumple con las propiedades generales de los logaritmos, así como las identidades logarítmicas; Aparte de las propiedades generales, se destacan las siguientes:

• $\ln(1)=0\,$

• $\ln(-1)=i\pi \quad \,$

(véase logaritmo complejo)

• $\ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {para}}\quad 0<x<y\;$

• ${\frac {h}{1+h}}\leq \ln(1+h)\leq h\quad {\rm {para}}\quad h>-1\;$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1.\,$

Derivada, serie de Taylor

Los polinomios de Taylor para ln(1 + x) únicamente proporcionan aproximaciones precisas en el rango −1 < x ≤ 1. Nótese que, para x > 1, los polinomios de Taylor de mayor grado son pésimas aproximaciones.

La derivada del logaritmo natural viene dada por

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.\,$

Esto se debe a que ln(x) es una integral indefinida de una función continua, por lo tanto, utilizando el teorema fundamental del cálculo obtenemos que la primer derivada de ln(x) es igual a 1/x .

El logaritmo natural es un función analítica, por tanto puede representarse como una serie de Taylor centrada en algún punto de su dominio. Puesto que la primera derivada del logaritmo natural (1/x) evaluada en cero no existe, su serie de Taylor suele centrarse en uno, para luego hacer un cambio de variable y centrarla en cero. De esta manera, se obtiene la serie de Taylor del logaritmo natural

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ para }}-1<x\leq 1$

que se conoce como serie de Mercator.

Utilizando la identidad funcional

$\ln x=\operatorname {artanh} \,\left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right){\text{ para }}x>0$

y sustituyendo ${\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}$ en la serie de Taylor del arcotangente hiperbólico se obtiene la siguiente serie, cuya convergencia es más rápida que la anterior y es válida para valores positivos de x:

$\ln x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)^{2n+1}{\text{ para }}x>0$

Aplicando una trasformación binomial a la serie de Taylor se obtiene esta segunda serie, válida para valores x con valor absoluto mayor que 1:

$\ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots$

Nótese que $x \over {x-1}$ es su propia función inversa, con lo que para obtener el logaritmo natural de un cierto número y es suficiente con sustituir $y \over {y-1}$ en el lugar de x.

El logaritmo natural en integración

El logaritmo natural permite la integración sencilla de las funciones de la forma g(x) = f '(x)/f(x): una primitiva g(x) viene dada por ln(|f(x)|). Esto es debido a la regla de la cadena y también a lo siguiente:

$\ {d \over dx}\left(\ln \left|x\right|\right)={1 \over x}.$

En otras palabras,

$\int {1 \over x}dx=\ln |x|+C$

También se puede ver de esta manera,

$\int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.$

Ahora bien; véase el siguiente ejemplo g(x) = tan(x):

$\int \tan(x)\,dx=\int {\sin(x) \over \cos(x)}\,dx$

$\int \tan(x)\,dx=\int {-{d \over dx}\cos(x) \over {\cos(x)}}\,dx.$

Tomando f(x) = cos(x) y f'(x)= – sin(x):

$\int \tan(x)\,dx=-\ln {\left|\cos(x)\right|}+C$

$\int \tan(x)\,dx=\ln {\left|\sec(x)\right|}+C$

donde C es una constante arbitraria de integración.

El logaritmo natural puede ser integrado utilizando el método de integración por partes. Los detalles se dejan al lector.

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.$

Fracciones continuas

Si bien no hay fracciones continuas simples, están disponibles varias fracciones continuas generalizadas, entre las cuales incluyen:

$\log(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}$

$\log \left(1+{\frac {2x}{y}}\right)={\cfrac {2x}{y+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{3y+{\cfrac {2x}{1+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(y+x)-\ddots }}}}}}}}$

Véase también

• Logaritmo
• Logaritmo complejo
• Función exponencial

Bibliografía

• "Cálculus" (Volumen I). Tom M. Apostol. Segunda edición, 1991. Editorial Reverté, S.A. ISBN 84-291-5002-1

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Natural Logarithm». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.