Serie convergente

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En matemáticas, una serie (suma de los términos de una secuencia de números), resulta convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. De otro modo, constituiría lo que se denomina serie divergente.

Definición formal[editar]

Las series consideradas son numéricas (con términos reales o complejos) o vectoriales (con valores en un espacio vectorial normado).

La serie de término general a_n converge cuando la sucesión (A_n)_{n\in\mathbb{N}} de sumas parciales converge, donde para todo entero natural n,

A_n=\sum_{k=0}^n a_k.

En este caso la suma de la serie es el límite de la sucesión de sumas parciales

\sum_{k=0}^{+\infty} a_k = \lim_{n\to +\infty} A_n.

La naturaleza de convergencia o no-convergencia de una serie no se altera si se modifica una cantidad finita de términos de la serie.

Ejemplos[editar]

Resultan convergentes las series de las secuencias:

Resultan divergentes las series de las secuencias:

(es la conocida como serie armónica);

Convergencia absoluta[editar]

Si \sum a_n es una serie a valores en un espacio vectorial normado completo, se dice que es absolutamente convergente si la serie de término general \|a_n\| es convergente.

En este caso, la serie \sum a_n converge.

Series numéricas[editar]

En el caso de series numéricas, o a valores en un espacio de Banach, es suficiente con probar la convergencia absoluta de la serie para probar que es convergente, lo cual permite restringir el estudio a las series de términos positivos; para ello existen numerosos métodos, basados en el principio de comparación.

Criterios de convergencia[editar]

Series de reales positivos[editar]

  • Criterio de d'Alembert (Criterio del cociente o Criterio de la razón): sea \sum_{k=1}^{\infty} a_k una serie de términos estrictamente positivos; si
\lim_{k \rightarrow \infty} \frac {a_{k+1}}{a_k}=L\in[0, +\infty[,

entonces el Criterio de D'Alembert establece que si

L < 1, la serie converge, 
L > 1, la serie no converge, 
L = 1 el criterio no establece nada respecto a su convergencia.
  • Criterio de la raíz: si los términos a_n\, son estrictamente positivos y si existe una constante C < 1\, tal que \lim_{n \rightarrow \infty}(a_n)^{\frac{1}{n}} \le C , entonces \sum a_n es convergente.
  • Criterio de Raabe: sea una serie \sum_{k=1}^{\infty} a_k, tal que a_k>0 (serie de términos positivos). Si existe el límite
\lim_{k \rightarrow \infty} k \left ( 1 - \frac {a_{k+1}}{a_k} \right )=L, siendo L \, \in \, (-\infty , +\infty )

entonces, si L > 1 la serie es convergente y si L < 1 la serie es divergente. (Nota: el Criterio de Raabe es recomendado sólo en caso de fallar el Criterio de D'Alembert).

  • Criterio de la integral de Cauchy: si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo

[1, ∞) tal que f(n) = an para todo n, entonces \textstyle \sum{a_n} converge si y sólo si \textstyle \int_1^\infty f(x)\,dx es finita.

Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie

\sum_{n=N}^\infty f(n)

converge si y sólo si la integral

\int_N^\infty f(x)\,dx

converge.

Otros métodos[editar]

  • Criterio de Cauchy: una serie a valores en un espacio vectorial normado completo es convergente si y solo si la sucesión de sumas parciales es de Cauchy:
\forall \varepsilon>0, \exists N \in {\mathbb N}, \forall n \geq N, \forall p\in {\mathbb N},
\left\|u_{n+1}+\dots + u_{n+p}\right\|<\varepsilon.

a) \lim_{n \rightarrow \infty} (-1)^na_n= 0 para n par y n impar.

b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente, es decir que: |{a_k}|\ge|a_{k+1}|.

Si esto se cumple, la serie \sum_{n=1}^\infty {a_n} es condicionalmente convergente, de lo contrario la serie diverge.

Nota: Se debe descartar primero la convergencia absoluta de \sum_{n=1}^\infty |{a_n}| antes de aplicar este criterio, usando los criterios para series positivas.

Criterios de convergencia comparativos[editar]

Son aplicables en caso de disponer de otra serie \sum(b_n) tal que se conozca su condición de convergencia o no-convergencia.

Criterio de comparación directa[editar]

(de la mayorante o de Gauss)

Si 0 < a_n \le b_n , \forall n \ge n_0

  • Si \sum(b_n) converge \Rightarrow \sum(a_n) converge
  • Si \sum(a_n) diverge \Rightarrow \sum(b_n) diverge

Criterio de comparación por paso al límite del cociente[editar]

Sean \sum_{n=1}^\infty {a_n} y \sum_{n=1}^\infty {b_n} series de términos no negativos. Si existe

\lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \frac {a_{n}}{b_n} \right )=L \in \, [0 , +\infty ) \cup (-\infty\, 0] , entonces:

  • Si  L= 0 y la serie \sum(b_n) converge entonces  \sum(a_n) converge.
  • Si  L=+\infty\ y \sum(b_n) diverge entonces \sum(a_n) diverge.
  • Si  0<L<+\infty entonces las series \sum_{n=1}^\infty {a_n} y  \sum_{n=1}^\infty {b_n} comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).

Teorema de Abel[editar]

Sea \sum x_n une serie compleja donde \forall n \in \N, x_n = \alpha_n u_n tales que:

  • La sucesión (\alpha_n)_{n\in\N} es real, decreciente y tiende a 0.
  • \exists M\in\R tal que \forall n \in \N, \left| \sum_{k=0}^n u_k \right| \le M.

Entonces \sum x_n es convergente.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]

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