Número e

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e es el único número a, tal que la derivada de la función exponencial f(x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es igual a 1. En comparación, las funciones 2x (curva a puntos) y 4x (curva a trazos) son mostradas; no son tangentes a la línea de pendiente 1 (rojo).

La constante matemática \boldsymbol{e}\, es uno de los más importantes números reales.[1] Se relaciona con muchos interesantes resultados. Por ejemplo, la derivada de la función exponencial f(x)=e^x\, es esa misma función. El logaritmo en base e\, se llama logaritmo natural o neperiano.

El número e\,, conocido a veces como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.

Es considerado el número por excelencia del cálculo, así como \pi\, lo es de la geometría y el número i\, del análisis complejo. El simple hecho de que la función e^x\, coincida con su derivada hace que la función exponencial se encuentre frecuentemente en el resultado de ecuaciones diferenciales sencillas. Como consecuencia de esto, describe el comportamiento de acontecimientos físicos regidos por leyes sencillas, como pueden ser la velocidad de vaciado de un depósito de agua, el giro de una veleta frente a una ráfaga de viento, el movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil o el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto. De la misma manera, aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos (descarga de un condensador, amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (crecimiento de células, etc.), químicos (concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.), y muchos más.

El número e\,, al igual que el número \pi\, y el número áureo (φ), es un irracional, no expresable por la razón de dos enteros; o bien, no puede ser expresado con un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos. Además, es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido mediante la resolución de una ecuación algebraica con coeficientes racionales.

Su valor aproximado (truncado) es:

e\ \approx 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

Historia[editar]

Leonhard Euler popularizó el uso de la letra e para representar la constante; además fue el descubridor de numerosas propiedades referentes a ella.

Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier.[2] No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de ésta. Se cree que la tabla fue escrita por William Oughtred.

El "descubrimiento" de la constante está acreditado a Jacob Bernoulli, quien estudió un problema particular del llamado interés compuesto. Si se invierte una Unidad Monetaria (que abreviaremos en lo sucesivo como UM) con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir 1 UM x 1,502 = 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1,254 = 2,4414... En caso de pagos mensuales el monto asciende a 1 UM x (1+\textstyle{1 \over 12})^{12} = 2,61303...UM. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (que tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un factor de \textstyle {1 \over n}, el total de unidades monetarias obtenidas está expresado por la siguiente ecuación:

\lim_{n\to\infty} \left(1+{1\over n}\right)^n

Bernoulli comprobó que esta expresión se aproxima al valor de 2,7182818...UM. De aquí proviene la definición que se da de e en finanzas, que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% anual compuesto en forma continua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capital C y una tasa de interés anual R, proporcionará Ce^R UM con interés compuesto.

El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de e en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual.

En 1873, Charles Hermite (1822-1905) logró demostrar que e es trascendente, a dicho logro llegó usando un polinomio, conseguido con ayuda de fracciones continuas, empleadas, anteriormente, por Lambert. David Hilbert — también Karl Weierstrass y otros — propusieron, posteriomente, variantes y modificaciones de las primeras demostraciones.[3]

Definición[editar]

El área entre el eje x y la gráfica y = 1/x, entre x = 1 y x = e es 1.

La definición más común de e es como el valor límite de la serie

e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}

que se expande como

e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots

Otra definición habitual[4] dada a través del cálculo integral es como solución de la ecuación:

 \ln (x) = 1\,

que implica

 \int_1^x \frac {dt} t = 1

es decir que se define e como el número para el que

 \ln (e) = 1\,

o lo que es lo mismo, el número para el que

\int_1^e \frac {dt} t = 1

Propiedades[editar]

Cálculo[editar]

La función exponencial f(x) = ex es su propia derivada y su valor es 1 para x=0, y por lo tanto su propia primitiva también:

\frac{d}{dx}e^x=e^x

y

e^x= \int_{-\infty}^x e^t\,dt

Además, e es el límite de la sucesión de término general:

\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n

Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable real, pasando del límite de una sucesión al de una función:

e = \lim_{x \to \infin} \left(1 + \frac {1} {x}\right)^{x}

Como el término de la derecha tiene un exponente que varía, lo más práctico es tomar su logaritmo y hacer el cambio de variable h = 1/x\,:

\ln ((1 + h)^\frac {1} {h}) = \frac {\ln(1+h)} {h}  = \frac {\int_1^{1+h} \frac {dx} x} {h} =
 = \frac {\int_0^h \frac {dx} {1+x}} {h} = \frac {\int_0^h \left(1+O(x)\right)dx } {h} = \frac {h + O(h^2)} {h} = 1 + O(h)

Como el logaritmo se aproxima a 1 cuando h\, tiende a cero por la derecha, la expresión original tiende hacia e.

Desarrollo decimal[editar]

El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada:

e = 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\mathbf{2} + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\mathbf{4} + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\mathbf{6} + \cfrac{1}{1 + \cdots}}}}}}}}}

Lo que se escribe e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1... 1,2n,1,... ], propiedad descubierta por Leonhard Euler, y en fracción continua no normalizada:

e = 2 + \frac{2}{2 + \cfrac{3}{3 + \cfrac{4}{4 + \cfrac{5}{5 + \cfrac{6}{6 + \cfrac{7}{7 + \cdots}}}}}}

En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.

Álgebra[editar]

El número real e es irracional, y también trascendental (ver Teorema de Lindemann–Weierstrass). Fue el primer número trascendental que fue probado como tal, sin haber sido construido específicamente para tal propósito (comparar con el número de Liouville). La demostración de esto fue dada por Charles Hermite en 1873. Se cree que e además es un número normal.

Números complejos[editar]

El número e presenta en la fórmula de Euler un papel importante relacionado con los números complejos:

e^{ix} = \cos x + i\sin x,\,\!

El caso especial con x = π es conocido como identidad de Euler

e^{i\pi}+1 =0 .\,\!

de lo que se deduce que:

\log_e (-1) = i\pi .\,\!

Además, utilizando las leyes de la exponenciación, se obtiene:

(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx)

que es la fórmula de De Moivre.

Función exponencial[editar]

Se llama exponencial la función definida sobre los números reales por  x \longmapsto e^x

  • La función exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.
  • La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, mediante la relación: e^{\mathrm{i}x} = \cos x + \mathrm{i}\,\sin x. Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler.

En 1975, el suizo Felix A. Keller descubrió la siguiente fórmula[5] que se aproxima a "e" (Expresión de Keller):

e = \lim_{n\to\infty} \quad {\rm }\frac{n^n}{(n-1)^{(n-1)}} - \frac{(n-1)^{(n-1)}}{(n-2)^{(n-2)}} \quad {\rm para}\quad\left|n\right|>2.

Representaciones de e[editar]

El número e puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo, es el límite:

\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,

Desarrollando la potencia del binomio indicado en la propiedad anterior usando el teorema del binomio de Newton:

\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = 1 + \frac{n}{1}\frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\frac{1}{n^2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}\frac{1}{n^3} + ... + \frac{1}{n^n}
= 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1(1-\frac{1}{n})}{2!} + \frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})}{3!} + ... + \frac{1}{n^n}

Cuando n tiende a infinito, los productos que están en los numeradores tienden a 1, por lo que cada término de esta expresión tiende a \frac{1}{k!}, como se quería demostrar.

La serie infinita anterior no es única; e también puede ser representado como:

e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)}
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)}
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^5}{52(k!)}
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^6}{203(k!)}
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^7}{877(k!)}

Existen otras representaciones menos comunes. Por ejemplo, e se puede representar como una fracción simple continua infinita:

e=2+
\cfrac{1}{
 1+\cfrac{1}{
 {\mathbf 2}+\cfrac{1}{
 1+\cfrac{1}{
 1+\cfrac{1}{
 {\mathbf 4}+\cfrac{1}{
 \ddots
 }
 }
 }
 }
 }
}

Dígitos conocidos[editar]

El número de dígitos conocidos de e ha aumentado enormemente durante las últimas décadas. Esto es debido tanto al aumento del desempeño de las computadoras como también a la mejora de los algoritmos utilizados.[6] [7]

Número de dígitos conocidos de e
Fecha Dígitos decimales Autor(es) del cálculo
1748 23 Leonhard Euler[8]
1853 137 William Shanks
1871 205 William Shanks
1884 346 J. M. Boorman
1949 2010 John von Neumann (en la computadora ENIAC)
1961 100 265 Daniel Shanks y John W. Wrench[9]
1978 116 000 Steve Wozniak (usando la computadora Apple II)[10]
1994 10 000 000 Robert Nemiroff y Jerry Bonnell[11]
Mayo de 1997 18 199 978 Patrick Demichel
Agosto de 1997 20 000 000 Birger Seifert
Septiembre de 1997 50 000 817 Patrick Demichel
Febrero de 1999 200 000 579 Sebastian Wedeniwski
Octubre de 1999 869 894 101 Sebastian Wedeniwski
21 de noviembre de 1999 1 250 000 000 Xavier Gourdon
10 de julio de 2000 2 147 483 648 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
16 de julio de 2000 3 221 225 472 Colin Martin y Xavier Gourdon
2 de agosto de 2000 6 442 450 944 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
16 de agosto de 2000 12 884 901 000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
21 de agosto de 2003 25 100 000 000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
18 de septiembre de 2003 50 100 000 000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
27 de abril de 2007 100 000 000 000 Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
6 de mayo de 2009 200 000 000 000 Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
21 de febrero de 2010 500 000 000 000 Alexander J. Yee[12]
5 de julio de 2010 1 000 000 000 000 Shigeru Kondo y Alexander J. Yee[13]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston. 
  2. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2001), «The number e» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html .
  3. Pro Mathematica, Volumen IV/ Nºº. 7-8. (1990) PUCP, Lima.ISSN 1012-3938
  4. Esta forma de definir la función logaritmo natural, el número e, la función exponencial, etc. puede encontrarse en Cálculo Infinitesimal 2.ª edición, cap. 17 (p. 465) de Michael Spivak, Reverté o en Calculus 2.ª edición, cap. 6 (p. 277) de Tom Apostol, Reverté.
  5. Mathsoft "Expresión de Keller", Steven Finch (1998)
  6. Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation
  7. Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast
  8. Euler, Leonard (1748). Marc-Michel Bousquet, ed. Introductio In Analysin Infinitorum (Primer Tomo) (pdf) (en latín). p. 90 |página= y |páginas= redundantes (ayuda). Consultado el 16 de junio de 2013. 
  9. Shanks, Daniel; John Wrench (1962). «Calculation of Pi to 100 000 decimals». Mathematics of Computation 16 (77):  pp. 76-79. http://www.ams.org/journals/mcom/1962-16-077/S0025-5718-1962-0136051-9/S0025-5718-1962-0136051-9.pdf. Consultado el 16 de junio de 2013. 
  10. Wozniak, Steve (Junio 1981). «The Impossible Dream: Computing e to 116,000 places with a Personal Computer» (en inglés). Byte Magazine 6 (6):  pp. 392. ftp://ftp.apple.asimov.net/pub/apple_II/documentation/programming/misc/Apple%202%20Woz%20e%20Calc%201981.pdf. Consultado el 16 de junio de 2013. 
  11. Nemiroff, Robert; Bonnell, Jerry. «The Number e to 1 Million Digits» (en inglés). Consultado el 16 de junio de 2013.
  12. Announcing 500 billion digits of e...
  13. A list of notable large computations of e

Enlaces externos[editar]