Transformada binomial

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En matemáticas, en el campo de la combinatoria, la transformada binomial es una transformación de sucesiones, o sea, una transformación de una sucesión, que se obtiene calculando sus diferencias anteriores. Está relacionada con la transformada de Euler, que es el resultado de aplicar la transformada binomial a la sucesión asociada con la función generadora ordinaria. A veces se suele utilizar un caso especial de transformada de Euler para acelerar la sumación de series alternadas (véase aceleración de series). Otro caso especial se aplica a la serie hipergeométrica.

Definición[editar]

La transformada binomial, T, de una sucesión, \{a_n\}, es la sucesión \{s_n\} definida como

s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} a_k

Formalmente, la transformación se escribe como (Ta)_n = s_n , donde T es un operador de dimensión infinita con una matriz de elementos T_{nk}:

s_n = (Ta)_n = \sum_{k=0}^\infty T_{nk} a_k

La transformada es una involución, o sea,

TT = 1 \,

o, en notación indexada,

\sum_{k=0}^\infty T_{nk}T_{km} = \delta_{nm}

siendo δ la función delta de Kronecker. Se puede recuperar la serie original con

a_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} s_k

La transformada binomial de una sucesión es la n-ésima diferencia anterior de la sucesión, igual a

s_0 = a_0
s_1 = - (\triangle a)_0 = -a_1+a_0
s_2 = (\triangle^2 a)_0 = -(-a_2+a_1)+(-a_1+a_0) = a_2-2a_1+a_0
. . .
s_n = (-1)^n (\triangle^n a)_0

donde Δ es el operador de diferencia anterior.

Algunos autores definen a la transformada binomial con un signo adicional, de manera que no sea inversa consigo misma:

t_n=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n\choose k} a_k

cuya inversa es

a_n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} t_k

Estados desplazados[editar]

La transformada binomial es el operador de desplazamiento para los números de Bell. O sea,

B_{n+1}=\sum_{k=0}^n {n\choose k} B_k

donde B_n son los números de Bell.

Función de generación ordinaria[editar]

La transformada conecta las funciones generadoras asociadas con las series. Para el caso de la función generadora ordinaria, sea

f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n

y

g(x)=\sum_{n=0}^\infty s_n x^n

entonces

g(x) = (Tf)(x) = \frac{1}{1-x} f\left(\frac{-x}{1-x}\right)

Transformada de Euler[editar]

La relación entre las funciones de generación ordinarias es a veces llamada la transformada de Euler. Existen dos tipos. En una de sus formas, es utilizada para acelerar la convergencia de una serie alternada. Es decir una que posee la siguiente identidad

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n 
\frac {\Delta^n a_0} {2^{n+1}}

que se obtiene sustituyendo x=1/2 en la expresión previa. Por lo general los términos del lado derecho de la igualdad, se reducen en forma mucho más rápida, permitiendo de esta manera una sumación numérica rápida.

También es frecuente la aplicación de la transformada de Euler a la serie hipergeométrica \,_2F_1. En este caso, la transformada de Euler toma la siguiente forma:

\,_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-b} \,_2F_1 \left(c-a, b; c;\frac{z}{z-1}\right)

La transformada binomial, y su variación la transformada de Euler, se destacan por su conexión con la representación de un número mediante fracción continua. Sea 0 < x < 1 tal que su representación en fracción continua es

x=[0;a_1, a_2, a_3,\cdots]

entonces

\frac{x}{1-x}=[0;a_1-1, a_2, a_3,\cdots]

y

\frac{x}{1+x}=[0;a_1+1, a_2, a_3,\cdots]

Función de generación exponencial[editar]

Considerando la función generadora exponencial, sea

\overline{f}(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}

y

\overline{g}(x)= \sum_{n=0}^\infty s_n \frac{x^n}{n!}

entonces

\overline{g}(x) = (T\overline{f})(x) = e^x \overline{f}(-x)

La transformada de Borel convierte a una función generadora ordinaria en la función generadora exponencial.

Representación integral[editar]

Cuando se puede interpolar la sucesión por medio de una función compleja, entonces la transformada binomial de la sucesión puede ser representada por medio de una integral de Nörlund-Rice sobre la función interpolante.

Generalizaciones[editar]

Prodinger dio una transformación relacionada, de tipo modular: sea

u_n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} a^k (-c)^{n-k} b_k

lo cual conduce a

U(x) = \frac{1}{cx+1} B\left(\frac{ax}{cx+1}\right)

donde U y B son las funciones generadoras ordinarias asociadas con las series \{u_n\} y \{b_n\}, respectivamente.

La transformada k-binomial ascendente se define algunas veces como

\sum_{j=0}^n {n\choose j} j^k a_j

La transformada k-binomial descendente es

\sum_{j=0}^n {n\choose j} j^{n-k} a_j.

Ambas son homomorfismos del kernel de la transformada de Hankel de una serie.

Véase también[editar]

Referencias[editar]