Transformada de Möbius

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En teoría de números, la transformada de Möbius, llamada así en honor a August Ferdinand Möbius es una transformación de funciones aritméticas. Si f es una función definida sobre los números enteros positivos, Tf viene dada por

(Tf)(n)=\sum_{d\mid n} f(d)\mu \left ( {n \over d} \right )=\sum_{d\mid n} f\left ( {n \over d} \right )\mu(d)

donde μ es la función de Möbius clásica.[1] En un lenguaje más común y extendido por razones históricas, la función Tf se llama inversa de Möbius de f.[2] (La notación d | n significa que d es un divisor de n).

La transformación toma funciones aritméticas, o sea, funciones fNC y devuelve funciones aritméticas. Sobre funciones generadas mediante series de Dirichlet, se corresponde a una división por la función zeta de Riemann.

La transformada inversa T-1f viene dada por

(T^{-1}f)(n)=\sum_{d\mid n} f(d).

Relaciones con series[editar]

Sea

a_n=\sum_{d\mid n} b_d

de manera que

b_n=\sum_{d\mid n} \mu\left(\frac{n}{d}\right)a_d

sea su transformada de Möbius. Las transformadas están relacionadas por medio la serie de Lambert de la siguiente manera:

\sum_{n=1}^\infty a_n x^n = 
\sum_{n=1}^\infty b_n \frac{x^n}{1-x^n}

y por medio de las series de Dirichlet:

\sum_{n=1}^\infty \frac {a_n} {n^s} = \zeta(s)
\sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{n^s}

donde \zeta(s) es la función zeta de Riemann.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Pollack, Paul. «The Möbius transform and the infinitude of primes» (en inglés) (PDF). Consultado el 5 de enero de 2012.
  2. Schroeder, Manfred Robert (2006). «20. The Möbius Function and the Möbius Transform» (en inglés). Number theory in science and communication (4 edición). New York: Springer. pp. 220-222. ISBN 3540265961. 

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