Arcoseno

Función arcoseno
Gráfica de Función arcoseno
Definición	$\textstyle f{\mbox{ tal que }}f(\sin(x))=x\,$
Tipo	Trigonométrica inversa
Dominio	$\textstyle [-1,1]$
Codominio	$\textstyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$
Imagen	$\textstyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$
Propiedades	Estrictamente creciente Biyectiva en su dominio
Cálculo infinitesimal
Derivada	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
Función inversa	$\textstyle \sin(x)\quad x\in [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$
Funciones relacionadas	arcocoseno arcotangente

En trigonometría, el arcoseno está definido como la función inversa del seno de un ángulo. Si tenemos: $\arcsin \alpha \,$, su significado geométrico es el arco cuyo seno es alfa.

La función seno no es inyectiva, por lo que no tiene recíproca. Es posible aplicarle una restricción del dominio de modo que se vuelva inyectiva y sobreyectiva. Por convención es preferible restringir el dominio de la función seno al intervalo:

$\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$

Del mismo modo que $y={\sqrt {x}}$ se puede definir de modo que y² = x, la función y = arcsin(x) se puede definir también de modo que sin(y) = x.

Notación

La notación matemática del arcoseno es arcsen; es común la escritura ambigua sen^-1. En diversos lenguajes de programación se suele utilizar la forma ASN, ASIN y ARCSIN.

Serie de potencias

El desarrollo en serie de potencias del arcoseno viene dado por:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}=x+{\frac {1}{6}}x^{3}+...$

Nótese que este desarrollo solo es válido cuando se expresa el ángulo en radianes. A continuación se da una pequeña demostración de tal desarrollo.

Demostración

Aplicando el desarrollo en serie de Taylor es sencillo demostrar el siguiente desarrollo: ${\frac {1}{\sqrt {1-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}t^{n}$ Efectuando el cambio t=s² se obtiene este desarrollo: ${\frac {1}{\sqrt {1-s^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}s^{2n}$ Dado que: $\arcsin(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-s^{2}}}}ds$ Integrando término a término la segunda serie se obtiene el desarrollo en serie del arcoseno: $\arcsin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$

Extensión a la recta real y los complejos

Como función analítica el arcoseno puede extenderse a valores fuera del dominio [-1,1] e incluso complejos. Para valores reales del argumento por encima de +1, la función toma valores complejos:

$\arcsin(1+\varepsilon ^{2})={\frac {\pi }{2}}-i\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}a_{k}\varepsilon ^{k},\quad a_{k}>0,\varepsilon \in \mathbb {R}$

Para valores menores que -1, se tiene en cuenta que:

$\arcsin(-(1+\varepsilon ^{2}))=-\arcsin(1+\varepsilon ^{2})$

Eso completa la extensión a los números reales, aunque fuera del intervalo [-1,+1] los valores de la función son complejos.

Aplicaciones

En un triángulo rectángulo, el arcoseno equivale a la expresión en radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre su cateto opuesto y la hipotenusa.

Véase también

• Arcocoseno
• Arcotangente
• Arcosecante
• Arcocosecante
• Arcocotangente

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Arcoseno». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.