Arcoseno

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Función arcoseno
Arcsin.svg
Gráfica de Función arcoseno
Definición
Tipo Trigonométrica inversa
Dominio
Codominio
Imagen
Propiedades Estrictamente creciente
Biyectiva en su dominio
Cálculo infinitesimal
Derivada
Función inversa
Funciones relacionadas arcocoseno
arcotangente

En trigonometría, el arcoseno está definido como la función inversa del seno de un ángulo. Si tenemos: , su significado geométrico es el arco cuyo seno es alfa.

La función seno no es inyectiva, por lo que no tiene función inversa definida en todo su dominio. Al restringir su dominio en se obtiene una función biyectiva y por tanto con inversa.

Propiedades[editar]

  • Es una función inyectiva, estrictamente creciente.
  • Como arcsen(-x) = -arcsenx, su grafica es simétrica respecto al origen (0: 0)
  • Su valor mínimo = -0.5π; su valor máximo = 0.5π.
  • El origen de coordenadas es punto de inflexión con un ángulo de inclinación de 45º [1]
  • Es una función continua en todo su dominio.
  • El cero de la función es 0. La gráfica corta al eje x en (0; 0)
  • Es una función diferenciable, además analítica lo que permite un desarrollo en serie de potencias [2]

Notación[editar]

La notación matemática del arcoseno es arcsen; es común la escritura ambigua sen-1. En diversos lenguajes de programación se suele utilizar la forma ASN, ASIN y ARCSIN. [cita requerida]

Serie de potencias[editar]

El desarrollo en serie de potencias del arcoseno viene dado por:

Nótese que este desarrollo solo es válido cuando se expresa el ángulo en radianes. A continuación se da una pequeña demostración de tal desarrollo.

Demostración
Aplicando el desarrollo en serie de Taylor es sencillo demostrar el siguiente desarrollo:

Efectuando el cambio t=s² se obtiene este desarrollo:

Dado que:

Integrando término a término la segunda serie se obtiene el desarrollo en serie del arcoseno:

Extensión a la recta real y los complejos[editar]

Como función analítica el arcoseno puede extenderse a valores fuera del dominio [-1,1] e incluso complejos. Para valores reales del argumento por encima de +1, la función toma valores complejos:

Para valores menores que -1, se tiene en cuenta que:

Eso completa la extensión a los números reales, aunque fuera del intervalo [-1,+1] los valores de la función son complejos.

Aplicaciones[editar]

En un triángulo rectángulo, el arcoseno equivale a la expresión en radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre su cateto opuesto y la hipotenusa.

Véase también[editar]

Referencias y notas[editar]

  1. Bronshtein- Semendiaev: Manual de matemáticas Editorial Mir, Moscú, 2º edición
  2. Conceptos que figuran en un libro de análisis matemático y aplicable a esta función

Enlaces externos[editar]