Grupo simpléctico

En matemáticas, el nombre grupo simpléctico puede referirse a dos conjuntos diferentes, pero estrechamente relacionados, de grupos matemáticos, denominados Sp(2n, F) y Sp(n) para el entero positivo n y cuerpo F (generalmente sobre los números complejos C o los números reales R). Este último se denomina grupo simpléctico compacto y también se denota por $\mathrm {USp} (n)$. Muchos autores prefieren notaciones ligeramente diferentes, que generalmente difieren en factores de 2. La notación utilizada aquí es consistente con el tamaño de las matrices más comunes que representan los grupos. En la clasificación de Cartan de las álgebras de Lie simples, el álgebra de Lie del grupo complejo Sp(2n, C) se denota como C_n, y Sp(n) es la forma real compacta de Sp(2n, C). Debe tenerse en cuenta que cuando aquí se hace referencia al grupo simpléctico (compacto) se da a entender que se está hablando de la colección de grupos simplécticos (compactos), indexados por su dimensión n.

El nombre grupo simpléctico tiene su origen en la topología simpléctica desarrorrada por Hermann Weyl como reemplazo de los confusos nombres anteriores (línea) grupo complejo y grupo lineal abeliano, y es el análogo al término griego que significa complejo.

El grupo metapléctico es una doble tapa del grupo simpléctico sobre R; tiene análogos sobre otros cuerpos locales, cuerpos finitos y anillos adélicos.

Sp(2n, F)

El grupo simpléctico es un grupo clásico definido como el conjunto de aplicaciones lineales de un espacio vectorial de dimensión 2n sobre el cuerpo F que conserva una forma bilineal antisimétrica no degenerada. Tal espacio vectorial se llama espacio vectorial simpléctico, y el grupo simpléctico de un espacio vectorial simpléctico abstracto V se denota Sp(V). Al fijar una base para V, el grupo simpléctico se convierte en el grupo de matrices simplécticas de orden 2n × 2n, con entradas en F, bajo la operación de multiplicación de matrices. Este grupo se denomina Sp(2n, F) o Sp(n, F). Si la forma bilineal está representada por la matriz antisimétrica no singular Ω, entonces

$\operatorname {Sp} (2n,F)=\{M\in M_{2n\times 2n}(F):M^{\mathrm {T} }\Omega M=\Omega \},$

donde M^T es la matriz transpuesta de M. A menudo, Ω se define como

$\Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},$

donde I_n es la matriz identidad. En este caso, Sp(2n, F) se puede expresar como aquellas matrices de bloques $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$, donde $A,B,C,D\in M_{n\times n}(F)$, satisfaciendo las tres ecuaciones siguientes:

${\begin{aligned}-C^{\mathrm {T} }A+A^{\mathrm {T} }C&=0,\\-C^{\mathrm {T} }B+A^{\mathrm {T} }D&=I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }B+B^{\mathrm {T} }D&=0.\end{aligned}}$

Dado que todas las matrices simplécticas tienen determinante 1, el grupo simpléctico es un subgrupo del grupo lineal especial SL(2n, F). Cuando n= 1, la condición simpléctica en una matriz se cumple si y solo si el determinante es uno, por lo que Sp(2, F)= SL(2, F). Para n > 1, existen condiciones adicionales, es decir, Sp(2n, F) es entonces un subgrupo propio de SL(2n, F).

Normalmente, el cuerpo F es el cuerpo de los número reals R o número complejos C. En estos casos Sp(2n, F) es un Grupo de Lie real/complejo de dimensión real/compleja n(2n + 1). Estos grupos son connected pero non-compact.

El center de Sp(2n, F) consta de las matrices I_2n y −I_2n siempre que characteristic of the field no sea 2.​ Dado que el centro de Sp(2n, F) es discreto y su cociente módulo el centro es un grupo simple, Sp(2n, F) se considera un simple Lie group.

El rango real del álgebra de Lie correspondiente, y por lo tanto del grupo de Lie Sp(2n, F), es n.

El Álgebra de Lie de Sp(2n, F) es el conjunto

${\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n\times 2n}(F):\Omega X+X^{\mathrm {T} }\Omega =0\},$

equipado con el commutator como su soporte Lie.​ Para la forma bilineal sesgada estándar $\Omega =({\begin{smallmatrix}0&I\\-I&0\end{smallmatrix}})$, esta álgebra de Lie es el conjunto de todas las matrices de bloques $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$ sujetas a las condiciones

${\begin{aligned}A&=-D^{\mathrm {T} },\\B&=B^{\mathrm {T} },\\C&=C^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}$

Sp(2n, C)

El grupo simpléctico sobre el cuerpo de los números complejos es un non-compact, conjunto simplemente conexo, simple Lie group.

Sp(2n, R)

Sp(n, C) es el complexification del grupo real Sp(2n, R). Sp(2n, R) es real, non-compact, connected, simple Lie group.​ Tiene un grupo fundamental isomorphic al grupo de número entero bajo adición. Como el forma real (álgebra de Lie) de un simple Lie group su álgebra de Lie es un splittable Lie algebra.

Algunas propiedades adicionales de Sp(2n, R):

• El exponential map del Álgebra de Lie sp(2n, R) al grupo Sp(2n, R) no es surjective. Sin embargo, cualquier elemento del grupo se puede representar como el producto de dos exponenciales.​ En otras palabras,

$\forall S\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\,\,\exists X,Y\in {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbf {R} )\,\,S=e^{X}e^{Y}.$

• Para todos los S en Sp(2n, R):

$S=OZO'\quad {\text{such that}}\quad O,O'\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\cap \operatorname {SO} (2n)\cong U(n)\quad {\text{and}}\quad Z={\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}.$

La matriz D es positive-definite y diagonal. El conjunto de tales Z forma un subgrupo no compacto de Sp(2n, R) mientras que U(n) forma un subgrupo compacto. Esta descomposición se conoce como descomposición de 'Euler' o 'Bloch-Messiah'.​ Se pueden encontrar más propiedades de symplectic matrix en esa página de Wikipedia.

• Como Grupo de Lie, Sp(2n, R) tiene una estructura múltiple. El variedad (matemáticas) para Sp(2n, R) es diffeomorphic al Cartesian product del grupo unitario U(n) con un espacio vectorial de dimensión n(n+1).​

Generadores infinitesimales

Los miembros del álgebra de Lie simpléctica sp(2n, F) son los Hamiltonian matrices.

Estas son matrices, $Q$ tales que

$Q={\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}$

donde B y C son symmetric matrices. Ver grupo clásico para una derivación.

Ejemplo de matrices simplécticas

Para Sp(2, R), el grupo de matrices 2 × 2 con determinante 1, las tres matrices (0, 1) simplécticas son:​

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.$

Sp(2n, R)

Resulta que $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ puede tener una descripción bastante explícita usando generadores. Si dejamos que $\operatorname {Sym} (n)$ denote las matrices $n\times n$ simétricas, entonces $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ es generado por $D(n)\cup N(n)\cup \{\Omega \},$ donde

${\begin{aligned}D(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{bmatrix}}\,\right|\,A\in \operatorname {GL} (n,\mathbf {R} )\right\}\\[6pt]N(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{bmatrix}}\,\right|\,B\in \operatorname {Sym} (n)\right\}\end{aligned}}$

son subgrupos de $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$​^{pg 173}​^{pg 2}.

Relación con la geometría simpléctica

Topología simpléctica es el estudio de symplectic manifolds. El espacio tangente en cualquier punto de una variedad simpléctica es un espacio vectorial simpléctico.​ Como se señaló anteriormente, las transformaciones que conservan la estructura de un espacio vectorial simpléctico forman un group y este grupo es Sp(2n, F), según la dimensión del espacio y el field sobre el que se define.

Un espacio vectorial simpléctico es en sí mismo una variedad simpléctica. Una transformación bajo un

action del grupo simpléctico es, en cierto sentido, una versión linealizada de simplectomorfismo, que es una estructura más general que conserva la transformación en una variedad simpléctica.

Sp(n)

El grupo simpléctico compacto​ Sp(n) es la intersección de Sp(2n, C) con el grupo unitario $2n\times 2n$:

$\operatorname {Sp} (n):=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {U} (2n)=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {SU} (2n).$

A veces se escribe como USp(2n). Alternativamente, Sp(n) se puede describir como el subgrupo de GL(n, H) (matrices cuaterniónic invertibles) que conserva el hermitian form estándar en Hⁿ:

$\langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}.$

Es decir, Sp(n) es solo quaternionic unitary group, U(n, H).​ De hecho, a veces se le llama grupo hiperunitario. También Sp(1) es el grupo de cuaterniones de norma 1, equivalente a Grupo unitario especial y topológicamente a 3-sphere S³.

Tenga en cuenta que Sp(n) no es un grupo simpléctico en el sentido de la sección anterior: no conserva una forma bilineal H sesgada no degenerada simétrica en Hⁿ: no existe tal forma excepto la forma cero. Más bien, es isomorfo a un subgrupo de Sp(2n, C), por lo que conserva una forma simpléctica compleja en un espacio vectorial de dos veces la dimensión. Como se explica a continuación, el álgebra de Lie de Sp(n) es el forma real (álgebra de Lie) compacto del álgebra de Lie simpléctica compleja sp(2n, C).

Sp(n) es un grupo de Lie real con dimensión (real) n(2n + 1). Es compact y conjunto simplemente conexo.​

El álgebra de Lie de Sp(n) está dada por las matrices cuaterniónicas matriz antihermitiana, el conjunto de matrices cuaterniónicas n-by-n que satisfacen

$A+A^{\dagger }=0$

donde A^† es el matriz traspuesta conjugada de A (aquí se toma el conjugado cuaterniónico). El soporte de Lie lo da el conmutador.

Subgrupos importantes

Algunos subgrupos principales son:

$\operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {Sp} (n-1)$

$\operatorname {Sp} (n)\subset \operatorname {U} (n)$

$\operatorname {Sp} (2)\subset \operatorname {O} (4)$

Por el contrario, es en sí mismo un subgrupo de algunos otros grupos:

$\operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {Sp} (n)$

$\operatorname {F} _{4}\supset \operatorname {Sp} (4)$

$\operatorname {G} _{2}\supset \operatorname {Sp} (1)$

También están los isomorfismo de los Álgebra de Lie sp(2)= so(5) y sp(1)= so(3)= su(2).

Relación entre los grupos simplécticos

Cada complejo álgebra de Lie semisimple tiene un split real form y un compact real form; el primero se llama complexification de los dos últimos.

El álgebra de mentira de Sp(2n, C) es semisimple y se denota sp(2n, C). Su split real form es sp(2n, R) y su compact real form es sp(n). Estos corresponden a los grupos de Lie Sp(2n, R) y Sp(n) respectivamente.

Las álgebras, sp(p, n − p), que son las álgebras de Lie de Sp(p, n − p), son el equivalente indefinite signature a la forma compacta.

Importancia física

Mecánica clásica

El grupo simpléctico compacto Sp(n) surge en la física clásica como las simetrías de coordenadas canónicas que conservan el corchete de Poisson.

Considere un sistema de partículas n, evolucionando bajo Hamilton's equations cuya posición en espacio fásico en un momento dado se denota por el vector de coordenadas canónicas,

$\mathbf {z} =(q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})^{\mathrm {T} }.$

Los elementos del grupo Sp(2n, R) son, en cierto sentido, transformación canónica sobre este vector, es decir, conservan la forma de Hamilton's equations.​​ Si

$\mathbf {Z} =\mathbf {Z} (\mathbf {z} ,t)=(Q^{1},\ldots ,Q^{n},P_{1},\ldots ,P_{n})^{\mathrm {T} }$

son nuevas coordenadas canónicas, entonces, con un punto que denota derivada en el tiempo,

${\dot {\mathbf {Z} }}=M({\mathbf {z} },t){\dot {\mathbf {z} }},$

dónde

$M(\mathbf {z} ,t)\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$

para todo t y todo z en el espacio de fase.​

Para el caso especial de un Variedad de Riemann, las ecuaciones de Hamilton describen los geodésica en esa variedad. Las coordenadas $q^{i}$ viven en el fibrado tangente a la variedad, y los momentos $p_{i}$ viven en el fibrado cotangente. Esta es la razón por la cual estos se escriben convencionalmente con índices superior e inferior; es distinguir sus ubicaciones. El hamiltoniano correspondiente consta únicamente de la energía cinética: es $H={\tfrac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}$, donde $g^{ij}$ es el inverso de tensor métrico $g_{ij}$ en la variedad de Riemann.​​ De hecho, el paquete cotangente de cualquier variedad suave puede ser un symplectic structure (no trivial) de forma canónica, con la forma simpléctica definida como derivada exterior de tautological one-form.​

Mecánica cuántica

Plantilla:More citations needed section Considere un sistema de partículas n cuyo estado cuántico codifica su posición y momento. Estas coordenadas son variables continuas y, por lo tanto, el Espacio de Hilbert, en el que vive el estado, es de dimensión infinita. Esto a menudo hace que el análisis de esta situación sea complicado. Un enfoque alternativo es considerar la evolución de los operadores de posición e impulso bajo Heisenberg equation en espacio fásico.

Construya un vector de coordenadas canónicas,

$\mathbf {\hat {z}} =({\hat {q}}^{1},\ldots ,{\hat {q}}^{n},{\hat {p}}_{1},\ldots ,{\hat {p}}_{n})^{\mathrm {T} }.$

El relaciones de conmutación canónicas se puede expresar simplemente como

$[\mathbf {\hat {z}} ,\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }]=i\hbar \Omega$

dónde

$\Omega ={\begin{pmatrix}\mathbf {0} &I_{n}\\-I_{n}&\mathbf {0} \end{pmatrix}}$

y I_n es la matriz identidad n × n.

Muchas situaciones físicas solo requieren Hamiltonians cuadrático, es decir, Hamiltonians de la forma

${\hat {H}}={\frac {1}{2}}\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }K\mathbf {\hat {z}}$

donde K es un real 2n × 2n, matriz simétrica. Esto resulta ser una restricción útil y nos permite reescribir el Heisenberg equation como

${\frac {d\mathbf {\hat {z}} }{dt}}=\Omega K\mathbf {\hat {z}}$

La solución a esta ecuación debe preservar el relaciones de conmutación canónicas. Se puede demostrar que la evolución temporal de este sistema es equivalente a un action de the real symplectic group, Sp(2n, R), en el espacio de fase.

Véase también

• Grupo ortogonal
• Grupo unitario
• Grupo proyectivo unitario
• Variedad simpléctica, matriz simpléctica, espacio vectorial simpléctico, representación simpléctica
• Representaciones de grupos de Lie clásicos
• Mecánica hamiltoniana
• Grupo metapléctico
• Θ10

Bibliografía

• Arnold, V. I. (1989), Mathematical Methods of Classical Mechanics, Graduate Texts in Mathematics 60 (second edición), Springer Science+Business Media, ISBN 0-387-96890-3 .
• Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics 222 (2nd edición), Springer, ISBN 978-3319134666 .
• Fulton, W.; Harris, J. (1991), Representation Theory, A first Course, Graduate Texts in Mathematics 129, Springer Science+Business Media, ISBN 978-0-387-97495-8 ..
• Goldstein, H. (1980 (1ª Ed. 1950)). «Chapter 7». Classical Mechanics (2nd edición). Reading MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. 
• Lee, J. M. (2003), Introduction to Smooth manifolds, Graduate Texts in Mathematics 218, Springer Science+Business Media, ISBN 0-387-95448-1 .
• Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9 .
• Ferraro, Alessandro; Olivares, Stefano; Paris, Matteo G. A. (March 2005). «Gaussian states in continuous variable quantum information». . .

• Datos: Q936434