Forma bilineal

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En álgebra, una forma bilineal sobre un espacio vectorial es una aplicación que asocia un escalar a cada par de vectores, tal que es lineal en cada uno de sus argumentos por separado.[1]

Definición[editar]

Dados un cuerpo K y un K-espacio vectorial V, una forma bilineal es una aplicación

f : V \times V \to K

que verifica:[1]

  • \ f(u_1+u_2,v) = f(u_1,v) + f(u_2,v)
  • \ f(u,v_1+v_2) = f(u,v_1) + f(u,v_2)
  • \ f(au,v) = a f(u,v)
  • \ f(v,au) = a f(u,v)

para cualquier  a \in K y  u, v, u_1, u_2, v_1 \ y \ v_2 \in V

También se puede definir como una forma bilineal como un caso particular de una forma multilineal, en particular como un tensor de tipo (0,2).

Ejemplo[editar]

El producto escalar en el espacio euclideo es una forma bilineal. En particular, dados dos vectores en  \mathbb{R}^2 de la forma u=(a,b) y v=(c,d), su producto escalar viene dado por:

\ \langle u,v\rangle=ac+bd

que se puede verificar que es una forma bilineal.

Propiedades[editar]

De la definición se tienen las siguientes propiedades:

  • \ f(u,0) = f(0,u) = 0
  • \ f(-u,v) = f(u,-v) = -f(u,v)
  • \ f(\sum_i a_i u_i,\sum_j b_jv_j) = \sum_i\sum_j a_ib_j f(u_i,v_j)

para todo  a\in K y  u,v,u_1,u_2,v_1,v_2 \in V

Forma bilineal simétrica y antisimétrica[editar]

Una forma bilineal puede tener un comportamiento especialmente simple frente al intercambio de los argumentos; aún en el caso de que no lo tenga, se puede descomponer de manera única en dos formas bilineales que sí lo tienen.

Forma bilineal simétrica[editar]

Una forma bilineal simétrica es aquella que es conmutativa, por lo que se puede intercambiar el primer con el segundo argumento sin variar la imagen:

\ f(u,v)=f(v,u)

Como ejemplo se tiene que el producto escalar en el espacio euclídeo es una forma bilineal simétrica.

Forma bilineal antisimetrica[editar]

Una forma bilineal antisimétrica es aquella en la que el intercambio de argumentos provoca un cambio de signo:

\ f(u,v) = -f(v,u)

en particular se tiene que  \ f(v,v)=0

Un ejemplo de ello es el símbolo de Levi-Civita bidimensional.

Descomposición de una forma bilineal cualquiera[editar]

Dada una forma bilineal cualquiera se puede definir su forma bilineal simétrica como:

\ f_S=\frac{1}{2}(f(x,y)+f(y,x))

Análogamente la forma bilineal antisimétrica se define como:

\ f_T=\frac{1}{2}(f(x,y)-f(y,x))

Las formas así definidas componen la forma original:

\ f(x,y)=f_S(x,y)+f_T(x,y)

Forma cuadrática asociada[editar]

Dada una forma bilineal, se puede definir su forma cuadrática asociada como:

\ \Phi V\to K

dado por

\ \Phi(x)=f(x,x)

Además, cada forma cuadrática tiene una forma bilineal asociada denominada forma polar.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Notas[editar]

  1. a b Weisstein, Eric W. «Forma bilineal» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. Consultado el 13/04/2014.

Bibliografía[editar]

  • Luis Merino, Evangelina Santos (2006). Álgebra lineal con métodos elementales. Paraninfo. ISBN 9788497324816. 

Enlaces externos[editar]