Derivada exterior

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En matemáticas, el operador de derivada exterior (o diferencial exterior) de la topología diferencial, amplía el concepto del diferencial de una función a formas diferenciales de un grado más alto. Fue inventado, en su forma actual, por Élie Cartan.

Definición[editar]

La derivada exterior de una forma diferencial de grado k es una forma diferencial de grado k+1. La diferenciación exterior satisface tres propiedades importantes:

  • d^2=0\,, dicho de otro modo, que siempre: d(d\omega) = 0\,, para cualquier forma \omega\,.
d(\omega\wedge\eta) = d\omega\wedge\eta+(-1)^{{\rm deg\,}\omega}(\omega\wedge d\eta).

Puede ser demostrado que la derivada exterior está determinada unívocamente por estas propiedades y su coincidencia con el diferencial en 0-formas (funciones).

Los casos especiales de la diferenciación exterior corresponden a los operadores diferenciales familiares del cálculo vectorial a lo largo de las mismas líneas que el diferencial corresponde a gradiente. Por ejemplo, en el espacio euclidiano tridimensional, la derivada exterior de una 1-forma corresponde al rotacional y la derivada exterior de 2-formas corresponde a la divergencia. Esta correspondencia muestra más de una docena de fórmulas del cálculo vectorial como casos especiales de las tres reglas antedichas de la diferenciación exterior. El núcleo del operador d\, consiste en las formas cerradas, y la imagen en las formas exactas (cf. diferenciales exactos).

Véase también[editar]

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