Matriz invertible

En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A⁻¹, tal que:

$A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I_{n}$,

donde I_n es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.

Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es nulo.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Ejemplos

Matriz de dos filas

Por ejemplo la inversa de la matriz $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$

es:

$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}^{-1} \quad = \quad \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$

porque:

$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} \quad = \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Propiedades de la matriz inversa

• La inversa de una matriz, si existe, es única.
• La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:

$\left (A \cdot B \right ) ^{-1} = {B}^{-1} \cdot {A}^{-1}$

• Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:

$\left(A^{T}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{T}$

• Y, evidentemente:

$\left(A^{-1}\right)^{-1} = A$

• Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:

${A^{-1}} = {1 \over {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}} \operatorname{adj} (A^{T}) \$

donde ${ {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}}$ es el determinante de A y $\operatorname{adj}{(A)} \$ es la matriz de adjuntos de A.

Demostración de la unicidad de la inversa

Supongamos que B y C son inversas de A

$AB=BA=I$

$AC=CA=I$

Multiplicando por C

$(BA)C=IC=C$

$(BA)C=B(AC)=BI=B$

De modo que B=C y se prueba que la inversa es única.

Demostración del criterio de inversibilidad de las matrices cuadradas

Se probará la doble implicación.

Suficiencia $(\Rightarrow)$

Suponiendo que existe $B$ tal que $AB = BA = I$. Entonces al aplicar la función determinante se obtiene

$\det\left(AB\right)=\det\left(BA\right)=\det\left(I\right)$

usando la propiedad $\det(I) = 1$

$\det\left(A\right)\det\left(B\right)=1$

Por lo tanto, $\det(A)$ es distinto de cero.

$\det\left(A\right)\neq0$

Necesidad $(\Leftarrow)$

Suponiendo que el determinante de $A$ es distinto de cero, sea $a_{ij}$ es el elemento ij de la matriz $A$ y sea $A_{ij}$ la matriz $A$ sin la fila $i$ y la columna $j$ (comúnmente conocida como $j$-ésimo menor de A). Entonces

$\det(A)= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij})$

Sea $k\neq j$, entonces

$\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ik}\det(A_{ij})=0$

Esta afirmación es válida propiedades de los determinantes, pues la parte izquierda de la relación nos conduce a una matriz con la columna $j$ igual a la columna $k$ y los demás términos iguales a los de $A$. Entonces

$\delta_{jk}\det\left(A\right)= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}\det\left(A_{ij}\right)a_{ik}$

donde $\delta_{jk} = 1$ cuando $j=k$ y $\delta_{jk} = 0$ cuando $j\neq k$. Entonces

$\det\left(A\right)I = \left(\mbox{adj}(A)\right)A$

Es decir que $A$ tiene inversa izquierda

$\frac{\left(\text{adj}(A)\right)^T}{\det\left(A\right)}$

Como $\left(\text{adj}(A)\right)^T = \text{adj}\left(A^T\right)$, entonces $A^T$ también tiene inversa izquierda que es

$\frac{\left(\text{adj}(A^T)\right)^T}{\det\left(A^T\right)}= \frac{\text{adj}(A)}{\det\left(A\right)}$

Entonces

$\frac{\text{adj}(A)}{\det\left(A\right)}A^T=I$

luego, aplicando la transpuesta

$A\frac{\left(\text{adj}(A)\right)^T}{\det\left(A\right)}=I$

Que es lo que se quería demostrar

Métodos de inversión de matrices

Solución analítica

Inversión de matrices 2×2

Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo. Se puede hacer de la siguiente manera:

$\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end{bmatrix} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end{bmatrix}$

Esto es posible siempre y cuando ad - bc, el determinante de la matriz, no sea cero.

Ejemplo numérico:

$C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} , \ C^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac1{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \\ \end{bmatrix}$

Inversión de matrices de órdenes superiores

Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula:

${A^{-1}} = {1 \over {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}} \ \operatorname{adj} (A)^{T} \$

Donde $\operatorname{adj} (A)^{T}$ es la transpuesta de la matriz adjunta de la matriz original; ${ {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}}$ es el determinante de A y $\ \operatorname{adj}{(A)} \$ es la matriz de adjuntos de A.

Cuando la matriz tiene más de tres filas, está fórmula es muy ineficiente y conduce a largos cálculos. Hay métodos alternativos para calcular la matriz inversa que son bastante más eficientes.

Métodos numéricos

El método de eliminación de Gauss-Jordan puede utilizarse para determinar si una determinada matriz es invertible y para encontrar su inversa. Una alternativa es la descomposición LU, que descompone una matriz dada como producto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, mucho más fáciles de invertir. Utilizando el método de Gauss-Jordan se coloca a la izquierda la matriz dada y a la derecha la matriz identidad. Luego por medio del uso de pivotes se intenta formar en la izquierda la matriz identidad y la matriz que quede a la derecha será la matriz inversa a la dada.