Matriz antihermitiana

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En álgebra lineal, una Matriz antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación:

A^* = -A

o en su forma componente, si (A=a_{i,j}):

a_{i,j} = -\overline{a_{j,i}}

Para todas las i y las j.

Ejemplo[editar]

Por ejemplo, la siguiente matriz es una matriz antihermitiana:

\begin{pmatrix}i & 2 + i \\ -2 + i & 3i \end{pmatrix}

Propiedades[editar]

  • 1. Los autovalores de una matriz antihermitiana son todos imaginarios puros. Es más, las matrices antihermitianas son matrices normales. Por lo tanto, son diagonalizables y sus autovectores para distintos autovalores son ortogonales.
  • 2. Si A es antihermitiana entonces iA es hermitiana.
  • 3. Si A,B es antihermitiana, entonces aA+bB es antihermitiana para todos los escalares reales de a,b.
  • 4. Si A es antihermitiana, entonces A2k es hermitiana para todos los naturales k.
  • 5. Si A es antihermitiana, entonces A2k+1 es antihermitiana para todos los naturales k.
  • 6. Si A es antihermitiana, entonces eA es matriz unitaria.
  • 7. La diferencia entre una matriz y su traspuesta conjugada (C - C^*) es antihermitiana.
  • 8. Una matriz cuadrada arbitraria C puede ser escrita como la suma de la matriz hermitiana A y la matriz antihermitiana B:
C = A+B \quad\mbox{para}\quad A = \frac{1}{2}(C + C^*) \quad\mbox{y}\quad B = \frac{1}{2}(C - C^*).

Véase también[editar]