Serie matemática

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En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión matemática. Informalmente, es el resultado de sumar los términos:

lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio:

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.

Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

Tipos de series[editar]

Sumas parciales[editar]

Para cualquier sucesión matemática de números racionales, reales, complejos, funciones, etc., la serie asociada se define como la suma formal ordenada:

La sucesión de sumas parciales asociada a una sucesión está definida para cada como la suma de la sucesión desde hasta :

Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.

Convergencia[editar]

Por definición, la serie converge al límite si y sólo si la sucesión de sumas parciales asociada converge a . Esta definición suele escribirse como

Ejemplos[editar]

  • Una serie geométrica es aquella en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón r. En este ejemplo, la razón r = 1/2:

En general, una serie geométrica es convergente, sólo si |z| < 1, a:

La serie armónica es divergente.

  • Una serie telescópica es la suma , donde an = bnbn+1:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:


Convergencia de series[editar]

Una serie  se dice que es convergente (o que converge) si la sucesión SN de sumas parciales tiene un límite finito. Si el límite de SN es infinito o no existe, se dice que la serie diverge. Cuando este límite existe, se le llama suma de la serie.

Si todos los an son cero para n suficientemente grande, la serie se puede identificar con una suma finita. El estudio de la convergencia de series, se centra en las propiedades de las series infinitas que incluyen infinitos términos no nulos. Por ejemplo, el número periódico

Sn = 0.111111...

tiene como representación decimal, la serie

Dado que estas series siempre convergen en los números reales (ver: espacio completo), no hay diferencia entre este tipo de series y los números decimales que representan. Por ejemplo, 0.111… y 1/9; o bien 1=0,9999...

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]