Serie alternada

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

En matemáticas, una serie alternada es una serie infinita del tipo

con an ≥ 0. Una suma finita de este tipo es una suma alternada.

Condiciones de convergencia[editar]

Una condición suficiente para que la serie alternada converja es que sea absolutamente convergente. Pero la misma no es una condición necesaria, ya que existen series que no la satisfacen y aun así son convergentes. Por ejemplo, la serie armónica

diverge, mientras que su versión alternada

converge al logaritmo natural de 2.

Un test más amplio de convergencia de una serie alternada es el test de Leibniz: si la sucesión es monótona decreciente y tiende a cero, entonces la serie

converge.

Se puede utilizar la suma parcial

para aproximar la suma de una serie alternada convergente. Si es monótona decreciente y tiende a cero, entonces el error en esta aproximación resulta ser menor que .

Convergencia condicional[editar]

Una serie condicionalmente convergente es una serie infinita que converge, pero no converge absolutamente. El siguiente resultado anti intuitivo es verdadero: si la serie real

converge condicionalmente, entonces para todo número real existe un reordenamiento de la serie tal que

Como un ejemplo de esto, consideremos la serie precedente para el logaritmo natural de 2:

Una forma posible de reordenar la serie es (los paréntesis en el primer renglón están únicamente para mejorar la comprensión):

Una demostración de este postulado se basa en que el algoritmo voraz para σ es correcto.

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]