Criterio de la raíz

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En matemática, el criterio de la raíz o criterio de Cauchy es un método para determinar la convergencia de una serie usando la cantidad

donde son los términos de la serie. El criterio dice que la serie converge absolutamente si esta cantidad es menor que la unidad y que diverge si es mayor que la unidad. Es particularmente útil en relación con las series de potencias.

Sea C el límite de arriba, entonces el criterio de la raíz establece que:

  • Si C < 1, entonces la serie converge absolutamente
  • Si C > 1, entonces la serie diverge,
  • Si C = 1 y de cierto en adelante, entonces la serie diverge.
  • En otros caso el criterio no lleva a ninguna conclusión.

Hay algunas series en que C= 1 y la serie converge, por ejemplo,, y hay otros para los que C= 1 y la serie diverge, por ejemplo, .

Aplicación a series de potencias[editar]

Este criterio se puede utilizar con una serie de potencias

donde los coeficientes cn, y el centro p son números complejos, y el argumento z es una variable compleja.

Los términos de esta serie vendrían dados por an = cn(zp)n. Entonces se aplica el criterio de la raíz a an como se vio más arriba. Tenga en cuenta que a veces una serie como esta se llama una serie de potencias "alrededor de p", ya que el radio de convergencia es el radio R del mayor intervalo o disco centrado en p de manera que el serie converge para todos los puntos z estrictamente en el interior del intervalo o disco. Como corolario del criterio de la raíz se obtiene que el radio de convergencia es exactamente , teniendo cuidado de que es ∞ si el denominador es 0.

Prueba[editar]

La prueba de la convergencia de una serie Σan es una aplicación del criterio de comparación. Si para todo nN (N algún número natural fijo) tenemos entonces Puesto que la serie geométrica converge también converge por el criterio de comparación. La convergencia absoluta en el caso de an no positivos puede ser probada de la misma forma usando

Si de un número infinito de n, entonces los an no convergen a 0, por lo tanto, la serie es divergente.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Knopp, Konrad (1956). «§ 3.2». Infinite Sequences and Series. Dover publications, Inc., New York. ISBN 0-486-60153-6. 
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963). «§ 2.35». A Course in Modern Analysis (fourth edition edición). Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3. 

Prueba del criterio de la raíz (en inglés) en PlanetMath