Serie geométrica

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Cada uno de los cuadrados púrpuras tiene 1/4 del área del cuadrado anterior más grande (1/2 × 1/2 = 1/4, 1/4 × 1/4 = 1/16, etc.). La suma de las áreas de los cuadrados púrpuras es 1/3 del área de todo el cuadrado grande.

En matemática, una serie geométrica es una serie en la cual la razón entre sus términos sucesivos permanece constante.

Por ejemplo la serie

es geométrica, pues cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por .

Razón común[editar]

Los términos de una serie geométrica forman una progresión geométrica, es decir que la razón entre términos sucesivos permanece constante.

El comportamiento de los términos depende de la razón común m :

  • Si los términos decrecen y se acercan a cero en el límite. En tal caso, la serie converge.
  • Si los términos de la serie se incrementan en magnitud. La suma de los términos también aumenta y la serie no tiene suma. La serie diverge.

Suma[editar]

Ilustración de una suma autosimilar.

La suma de una serie geométrica será finita siempre y cuando los términos se aproximen a cero; a medida que se acercan al cero, las cantidades se vuelven insignificantemente pequeñas, permitiendo calcular la suma sin importar el hecho que la serie sea infinita. La suma puede ser obtenida utilizando las propiedades autosimilares de la serie.

Fórmula[editar]

Para , la suma de los primeros n términos de una serie geométrica es:

donde a es el primer término de la serie y r la razón común.

Demostración
  • Ejemplo:

Dada la serie geométrica:

La razón común de esta serie es y el primer termino es .

Así la suma de los primeros 10 términos de la serie es:

, por lo que .

Convergencia[editar]

La serie geométrica real de término inicial no nulo y de razón es convergente si y solamente si . En tal caso, su suma vale:

Demostración
  • Ejemplo:

Dada la serie geométrica:

La razón común de esta serie es y el primer termino es . Así por el resultado anterior

, por lo que .

Éste resultado se puede utilizar para evaluar cualquier serie geométrica convergente.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]