Grupo abeliano libre

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En álgebra abstracta, un grupo abeliano libre es un grupo abeliano que tiene una base en el sentido de que cada elemento del grupo se puede escribir de manera unívoca como combinación lineal de los elementos de la base, con coeficientes enteros. Por lo tanto, un grupo abeliano libre sobre una base B también se conoce como un conjunto de sumas formales sobre B. De manera informal, un elemento de un grupo abeliano libre también puede ser visto como un multiconjunto signado de elementos de B.

Los grupos abelianos libres tienen propiedades que los asemejan a los espacios vectoriales y permiten que un grupo abeliano en general se entiende como un cociente de un grupo abeliano libre por "relaciones". Cada grupo abeliano libre tiene un rango definido como la cardinalidad de una base. El rango determina el grupo salvo isomorfismos, y los elementos de dicho grupo se pueden escribir como sumas finitas formales de los elementos de la base. Cada subgrupo de un grupo abeliano libre es abeliano libre, lo cual es importante para la descripción de un grupo abeliano en general como conúcleo de homomorfismo entre grupos abelianos libres.

Ejemplo[editar]

Por ejemplo, sea G el grupo que es la suma directa de dos copias del grupo cíclico finito .

Simbólicamente,

.

Una base de este grupo es {(1,0), (0,1)}.

Si escribimos y , entonces podemos escribir el elemento (4,3), como

, donde la multiplicación se define de la manera siguiente: .

Con esta base no hay otra manera de escribir (4,3), pero si elegimos como base {(1,0), (1,1)}, donde y , entonces podemos escribir (4,3), como

.

A diferencia de lo que ocurre con los espacios vectoriales, no todos los grupos abelianos tienen una base (de ahí el nombre especial para los que lo si la tienen). Por ejemplo, ningún grupo con elementos (no triviales) periódicos puede ser abeliano libre, ya que dichos elementos pueden ser expresados en un número infinito de formas, simplemente mediante el establecimiento de un número arbitrario de ciclos construidos a partir de la periodicidad.

El grupo abeliano trivial {0} también se considera abeliano libre, con base el conjunto vacío.

Terminología[editar]

Hay que tener en cuenta que un grupo abeliano libre , no es un grupo libre, excepto en dos casos: un grupo abeliano libre con una base vacía (rango de 0, dando el grupo trivial) o tener sólo un elemento en la base (rango 1, dando un grupo cíclico infinito). Cualquier otro grupo abeliano no es un grupo libre, porque, en grupos libres, el elemento ab debe ser diferente del ba si a y b son elementos diferentes de la base, mientras que deben ser idénticos en grupos abelianos libres. Sin embargo, los grupos abelianos libres son objetos libres en la categoría de grupos abelianos.

Propiedades[editar]

  1. Para cada conjunto B, existe un grupo abeliano libre con base B, y todos los grupos abelianos libres que tienen a B como base son isomorfos. Se puede construir un ejemplo con el grupo abeliano de las funciones de B, donde cada función puede tomar valores enteros, y todos, excepto un número finito de sus valores son cero. Esta es la suma directa de copias de , una copia para cada elemento de la B.
  1. Si F es un grupo abeliano libre con base B, entonces tenemos la siguiente propiedad universal: por cada función f de B en cualquier grupo abeliano A, existe un único homomorfismo del grupo de F en A que extiende a f. Esta propiedad universal también se puede utilizar para definir grupos abelianos libres.
  1. Dado un grupo abeliano A, siempre existe un grupo abeliano libre F y un epimorfismo (esto es, un homomorfismo sobreyectivo) del grupo de F en A. Esto se deduce de la propiedad universal mencionada anteriormente.
  1. Todos los grupos abelianos libres son libres de torsión, y todos los grupos abelianos finitamente generados y libres de torsión son grupos abelianos libres (lo mismo se aplica a módulos planos, ya que un grupo abeliano es libre de torsión, si y sólo si, como -módulo es plano). El grupo aditivo de los números racionales es un grupo abeliano libre de torsión (no finitamente generado), grupo que no es abeliano libre. La razón: es divisible, pero ningún grupo abeliano libre distinto del trivial es divisible.
  1. Los grupos abelianos libres son un caso especial de módulos libres, ya que los grupos abelianos no son otra cosa que módulos sobre el anillo .

Es importante destacar que todo subgrupo de un grupo abeliano libre es libre abeliano (ver más abajo). Como consecuencia, para cada grupo abeliano A existe una sucesión exacta corta

0 → GFA → 0

donde F y G grupos abelianos libres (lo que significa que A es isomorfo al grupo cociente F /G). A esto se le llama resolución libre de A. Por otra parte, los grupos abelianos libres son, precisamente, los objetos proyectivos en la categoría de grupos abelianos.[1]

Puede ser sorprendentemente difícil determinar si un grupo concreto dado es abeliano libre. Considere por ejemplo el grupo de Baer-Specker , el producto directo (que no debe confundirse con la suma directa, que difiere del producto directo de un número infinito de sumandos) de una cantidad infinita numerable de copias de . Reinhold Baer demostró en 1937 que este grupo no es abeliano libre; Specker demostró en 1950 que cada subgrupo numerable de es abeliano libre.

Rango de un grupo abeliano libre[editar]

Cada grupo abeliano libre finitamente generado es isomorfo a para algún número natural n, denominado rango del grupo abeliano libre. En general, un grupo abeliano libre F puede tener muchas bases diferentes, pero todas ellas tienen el mismo cardinal, y a esta cardinalidad se le llama rango de F. Este rango de grupos abelianos libres se pueden utilizar para definir el rango de un grupo abeliano en general. Las relaciones entre las diferentes bases pueden ser interesantes, por ejemplo, las diferentes posibilidades para elegir una base para el grupo abeliano libre de rango dos se examinan en el artículo sobre el par fundamental de períodos.

Suma formal[editar]

Una suma formal de elementos de un conjunto dado B es un elemento del grupo abeliano libre con base B.

En otras palabras, dado un conjunto B, sea G el único grupo abeliano libre con base B (salvo isomorfismo).

Sean y . Definimos su suma formal como:

donde existirá un de forma que si .

Subgrupos de un grupo abeliano libre[editar]

Cada subgrupo de un grupo abeliano libre es también un grupo abeliano libre. Esto es similar al teorema de Nielsen-Schreier que dice que un subgrupo de un grupo libre es libre.[2]

Teorema: Sea el grupo abeliano libre generado por el conjunto y sea un subgrupo. Entonces es un grupo abeliano libre.

Demostración:[3] Si , la afirmación se cumple. Supongamos que no es el grupo trivial. En primer lugar vamos a probar esto para por inducción. Si , es isomorfo al ( que es no trivial y claramente es abeliano libre. Supongamos que si un grupo es generado por un conjunto de cardinalidad , entonces todos sus subgrupos son libres. Sean , sea el grupo libre generado por , y sea un subgrupo. Sea la proyección . Si , entonces es un subconjunto de y es libre por la hipótesis de inducción. Por lo tanto podemos suponer que el rango no es trivial. Sea el menor tal que y elegimos de forma que . Es sencillo comprobar que , y si , entonces , donde y . Por lo tanto . Por la hipótesis de inducción y son libres: el primero es isomorfo a un subgrupo y el segundo a .

Supongamos ahora que es arbitrario. Para cada subconjunto de sea es el grupo libre generado por , por lo tanto es un subgrupo libre y denotamos .

Ahora sea

Formalmente d es una aplicación inyectiva

de tal manera que genera .

Es evidente que es no vacío: Tomemos un elemento de . Luego y por lo tanto el grupo libre generado por contiene a y la intersección es un subgrupo no trivial de un grupo finito abeliano libre, y por lo tanto libre, por inducción.

Si , definamos el orden si y sólo si y la base será una extensión de ; formalmente, si y , entonces y .

Si es una -cadena ( es un orden lineal) de elementos de , entonces, evidentemente,

,

por lo que se puede aplicar el lema de Zorn y concluimos que existe un maximal. Como , es suficiente probar ahora que . Supongamos lo contrario: que existe un .

Sea . Si , entonces esto significa que , pero no son iguales, así que es mayor, lo cual contradice maximalidad de . De lo contrario, habría un elemento de tal manera que e .

El conjunto para el cual existe de tal manera que forma un subgrupo de . Sea un generador de este grupo sea con . Ahora bien, si , entonces para algún , , donde .

Por otra parte claramente , por lo que es una base de , por lo que contradiciendo de nuevo la maximalidad.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Griffith, Phillip A. (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. p. 18. ISBN 0226308707. 
  2. Johnson, D. L. (1980). «Topics in the Theory of Group Presentations». London Mathematical Society lecture note series 42. ISBN 9780521231084. 
  3. Esta prueba es una aplicación de lema de Zorn y se puede encontrar en el Apéndice 2 § 2, página 880 de Plantilla:Lang Álgebra.