Suma directa

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Un coproducto o suma directa para una familia de objetos en una categoría , es un objeto de , junto a una familia de morfismos () tal que para cualquier objeto y una familia de morfismos , existe un único morfismo tal que .

No hay una notación uniforme para los coproductos o sumas directas y algunas veces se denota .

Ejemplos[editar]

  • Consideremos un anillo R y la categoría de R-módulos por la izquierda. En este caso, la suma directa de una familia de R-módulos existe y es única. La construcción se puede hacer de la siguiente manera:

Sea una familia de R-módulos por la izquierda, entonces definimos

y todos los son cero, excepto un número finito de ellos , y definimos
como la inclusión de en la i-ésima coordenada de S.

Y definimos la suma de elementos en S, y el producto escalar, de un elemento R por uno de S de la siguiente manera, coordenada a coordenada:


  • Un caso particular de lo anterior es el caso en que R es cuerpo, es decir cuando estamos en la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo dado. En este caso, dado V espacio vectorial y W, U dos subespacios de V, tales que , podemos definir la suma directa interna, denotada , como el subespacio generado por W y U. No es difícil probar que este subespacio es isomorfo a la suma directa definida en el punto anterior.


  • Otro caso es la suma directa de grupos abelianos, ya que la categoría de grupos abelianos es equivalente a la categoría de -módulos.

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