Test de convergencia

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En matemáticas, los test de convergencia son métodos para evaluar la convergencia, la convergencia condicional, la convergencia absoluta, el intervalo de convergencia y divergencia de una serie infinita.

Lista de tests[editar]

Límite del sumando[editar]

También denominado test preliminar.[1]​ Si el límite del sumando es indefinido o distinto de cero, es decir, si entonces la serie diverge. En este sentido, las sumas parciales son Sucesión de Cauchy si y solo si este límite existe y es igual a cero. El test no es concluyente si el límite del sumando es cero.

Criterio de d'Alembert[editar]

Suponemos que existe tal que:

Si r < 1, entonces la serie converge. Si r > 1, entonces la serie es divergente. Si r = 1, el test no es concluyente, y la serie puede converger o divergir.

Criterio de la raíz de Cauchy[editar]

Definimos r cómo:

donde "lim sup" denota el límite superior (posiblemente ∞; si el límite existe y es del mismo valor).
Si r < 1, entonces la serie converge. Si r > 1, entonces la serie diverge. Si r = 1, el test no es concluyente, y la serie puede converger o divergir.

Test de la integral[editar]

La serie se puede comparar con una integral y establecer de esta forma la convergencia o divergencia de la misma. Si es una función positiva y monótona decreciente tal que . Si

entonces la serie converge. Pero si la integral diverge, entonces la serie también lo hace. De esta forma, la serie converge si y solo si la integral converge.

Test por comparación directa[editar]

Si la serie es absolutamente convergente y para a n suficientemente grande, entonces la serie converge absolutamente.


Test de comparación de límites[editar]

Si , y el límite existe y es diferente de cero, entonces converge si y solo si converge.

Criterio de condensación de Cauchy[editar]

Sea una secuencia positiva no creciente. Entonces la suma converge si y solo si la suma converge. Además, si convergen, entonces .

Test de Abel[editar]

Suponiendo que las siguientes condiciones se cumplen:

  1. es una serie convergente,
  2. es una sucesión monótona y limitada

Entonces es también convergente. Nótese que este criterio es especialmente útil en el supuesto de que sea una sucesión convergente no absoluta (léase condicional). En el caso de que sea absolutamente convergente, a pesar de aplicarse, es casi un corolario evidente.

Test para series alternadas[editar]

También conocido como Criterio de Leibniz, suponemos que las siguientes suposiciones son ciertas:

  1. es una serie cuyos términos oscilan entre valores positivos y negativos,
  2. ,
  3. el valor absoluto de cada término es menor que el valor absoluto del término precedente.

Entonces podemos afirmar que:

es una serie convergente.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Boas, Mary. L. «Mathematical Methods in the Physical Sciences». Wikipedia (en inglés). 

Enlaces externos[editar]