Sumatorio

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El sumatorio[1] o la operación de suma, es un operador matemático que permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos. Se expresa con la letra griega sigma ( \Sigma , Σ), y se define como:


   \sum_{i=m}^n x_i =
   x_m + x_{m+1} + x_{m+2} +\cdots + x_n

Esto se lee: «sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i».

La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m.

La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:

m \leq n

Pudiendo ver además que si m = n entonces:


   m = n
   \; , \quad
   \sum_{i=m}^n x_i =
   \sum_{i=m}^m x_i =
   x_m

Si m es mayor que n, el resultado es el elemento neutro de la suma, el cero:


   m > n
   \; , \quad
   \sum_{i=m}^n x_i =
   0

Ejemplo[editar]

Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacer de esta forma:


   \sum^{5}_{i = 1} i =
   1 + 2 + 3 + 4 + 5 =
   15

También hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido. Por ejemplo, para sumar los primeros mil números naturales no tiene mucho sentido sumar número por número, y se puede usar una fórmula como esta:


   \sum^{n}_{i = 1} i =
   \frac{n ( n + 1 )}{2}

   \sum^{1000}_{i = 1} i =
   \frac{1000 \; (1000 +1)}{2} =
   500\;500

Se debe notar que aunque el término sumatorio se refiere a un operador matemático útil para expresar cierto tipo de suma, no sustituye este término a la palabra suma. Se dice: «la suma de dos y tres es cinco», y no «el sumatorio de dos y tres es cinco». Por la misma razón, decir que se realizará, por ejemplo, el sumatorio de unos votos, es notoriamente un disparate.

Los operadores de suma son útiles para expresar sumas de forma analítica; esto es, representar todos y cada uno de los sumandos en forma general mediante el «i-ésimo» sumando. Así, para representar la fórmula para hallar la media aritmética de n números, se tiene la siguiente expresión:


   \overline{x} =
   \frac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n x_i}{n}

Identidades[editar]

Algunas ecuaciones de la operación de suma[editar]

\sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n), donde C es una constante
\sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right]
\sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right]
\sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+p}^{t+p} f(n-p)
\sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)
\sum_{n\in A} f(n) = \sum_{n\in \sigma(A)} f(n), para un conjunto finito A (Donde σ es una permutación de A).
\sum_{i=k_0}^{k_1}\sum_{j=l_0}^{l_1} a_{i,j} = \sum_{j=l_0}^{l_1}\sum_{i=k_0}^{k_1} a_{i,j}
\sum_{n=0}^t f(2n) + \sum_{n=0}^t f(2n+1) = \sum_{n=0}^{2t+1} f(n)
\sum_{n=0}^t \sum_{i=0}^{z-1} f(z\cdot n+i) = \sum_{n=0}^{z\cdot t+z-1} f(n)
\sum_{n=s}^t \ln f(n) = \ln \prod_{n=s}^t f(n)
c^{\left[\sum_{n=s}^t f(n) \right]} = \prod_{n=s}^t c^{f(n)}

Algunas sumas de expresiones polinómicas[editar]

\sum_{i=m}^n 1 = n+1-m
\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = H_n
\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^k} = H^k_n
\sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2}
\sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}
\sum_{i=0}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}
\sum_{i=0}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4} = \left[\sum_{i=1}^n i\right]^2
\sum_{i=0}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} = \frac{n^5}{5} + \frac{n^4}{2} + \frac{n^3}{3} - \frac{n}{30}
\sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}{p\choose k}(n+1)^{p-k+1} donde B_k denota un número de Bernoulli


Las siguientes fórmulas son manipulaciones de \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 generalizadas para que la serie comience en cualquier número natural (i.e., m \in \mathbb{N} ):

\left(\sum_{i=m}^n i\right)^2 = \sum_{i=m}^n ( i^3 - im(m-1) )
\sum_{i=m}^n i^3 = \left(\sum_{i=m}^n i\right)^2 + m(m-1)\sum_{i=m}^n i

Algunas sumas que contienen términos exponenciales[editar]

En los sumatorios siguientes a es una constante no igual a 1

\sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} (m < n; ver serie geométrica)
\sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a}
\sum_{i=0}^{n-1} i a^i = \frac{a-na^n+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^2}
\sum_{i=0}^{n-1} i 2^i = 2+(n-2)2^{n} (caso especial cuando a = 2)
\sum_{i=0}^{n-1} \frac{i}{2^i} = 2-\frac{n+1}{2^{n-1}} (caso especial cuando a = 1/2)

Algunas sumas que contienen coeficientes binomiales y factoriales[editar]

\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n
\sum_{i=1}^{n} i{n \choose i} = n2^{n-1}
\sum_{i=0}^{n} i!\cdot{n \choose i} = \sum_{i=0}^{n} {}_{n}P_{i} = \lfloor n!\cdot e \rfloor
\sum_{i=0}^{n-1} {i \choose k} = {n \choose k+1}
\sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{(n-i)} b^i=(a + b)^n, el Teorema del binomio
\sum_{i=0}^n i\cdot i! = (n+1)! - 1
\sum_{i=1}^n {}_{i+k}P_{k+1} = \sum_{i=1}^n \prod_{j=0}^k (i+j) = \frac{(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}
\sum_{i=0}^n {m+i-1 \choose i} = {m+n \choose n}

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]