Acción (matemática)

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Una acción de un grupo sobre un conjunto es una aplicación que cumple:

  1. donde es el elemento neutro del grupo.
  2. .

Estas dos condiciones implican que, para cada elemento de , la aplicación es una función biyectiva. Otra posible definición, que se deriva de esto, es que una acción es un homomorfismo de grupos.

.

Notación alternativa[editar]

Otra notación utilizada para las acciones es . Así los axiomas de acción se reescriben:

Ejemplos[editar]

Ejemplo: El ejemplo más sencillo es la representación trivial: para cualquier y , .

Ejemplo: El grupo de tres elementos actúa sobre el plano complejo de la siguiente manera:

donde es una raíz cúbica de la unidad (si tomamos la raíz la representación es trivial).

Un tipo importante de acción es aquella en la que es un espacio vectorial. Este tipo de acciones son el punto de partida de la teoría de la representación.

Tipos de acción[editar]

  • Una acción de un grupo se llama transitiva, o se dice que el grupo actúa transitivamente sobre un conjunto , si dados dos elementos e cualesquiera del conjunto , existe un elemento del grupo que aplica el en , es decir:

Órbita[editar]

En teoría de grupos la órbita de un elemento de un grupo , es la clase de equivalencia que contiene todos los elementos del grupo que se relacionan con bajo una relación de equivalencia específica.

Un ejemplo es la relación en grupo dada por si y sólo si es conjugado a ; esto es, si existe un elemento del grupo tal que .

La órbita de son todos los elementos de que pueden ser alcanzados mediante una conjugación desde .

En este caso la órbita también se llama clase de conjugación del elemento.

Obsérvese que dos órbitas de dos elementos (diferentes tal vez) son iguales ssi los elementos son equivalentes . O bien dos órbitas son iguales o disjuntas.

Órbitas y estabilizadores[editar]

Con una acción de un grupo en un conjunto uno tiene los siguientes conceptos: para cada tenemos el estabilizador de

y que son los elementos del grupo que actúan trivialmente sobre el elemento . Es un subgrupo de y también es llamado subgrupo de isotropía que no necesariamente es un subgrupo normal.

Y para el mismo , la órbita:

que son los elementos del conjunto que se alcanzan desde por la acción de .

Con estos dos conceptos tenemos:

  • Hay una biyección .
  • Las diferentes órbitas forman una partición de .
  • Si entonces , donde .

Ecuación de clase[editar]

Bajo estas circunstancias tenemos la descomposición orbital

que es una unión disjunta. Por lo que

Además de que los números , siendo estos últimos los índices de los subgrupos . Por lo que uno obtiene la proto-ecuación de clase (ecuación de clase):

Un caso especial de esta fórmula es cuando el grupo G actúa sobre sí mismo por conjugación: y con esta uno obtiene la maquinaria efectiva para demostrar algunos resultados para los grupos finitos: el teorema de Cauchy y los teoremas de Sylow.

Referencias[editar]

  • N.I.Herstein
  • Serge Lang
  • Marshall Hall
  • Burnside
  • A.G.Kurosch
  • Gallian
  • Dorronsoro

Enlaces externos[editar]