Función hiperbólica

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Las funciones hiperbólicas son unas funciones cuyas definiciones se basan en la función exponencial, conectando mediante operaciones racionales y son análogas a las funciones trigonométricas.[1] Estas son:

Curvas de la funciones hiperbólicas sinh, cosh y tanh
Curvas de las funciones hiperbólicas csch, sech y coth

El seno hiperbólico

\sinh(x) = \frac {e^{x} - e^{-x}} {2}

El coseno hiperbólico

\cosh(x) = \frac {e^{x} + e^{-x}} {2}

La tangente hiperbólica

\tanh(x) = \frac {\sinh(x)} {\cosh(x)}

y otras líneas:

\coth(x) = \frac {\cosh(x)} {\sinh(x)}
(cotangente hiperbólica)
\mbox{sech}(x) = \frac {1} {\cosh(x)}
(secante hiperbólica)
\mbox{csch}(x) = \frac {1} {\sinh(x)}
(cosecante hiperbólica)

Relación entre funciones hiperbólicas y funciones circulares[editar]

Las funciones trigonométricas sin(t) y cos(t) pueden ser las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P sobre la circunferencia unitaria centrada en el origen, donde es t el ángulo, medido en radianes, comprendido entre el semieje positivo X, y el segmento OP, según las siguientes igualdades:

 
\left \{ \begin{matrix}
           x(t) = \cos t \\
           y(t) = \sin t
\end{matrix}
\right .

También puede interpretarse el parámetro t como la longitud del arco de circunferencia unitaria comprendido entre el punto (1,0) y el punto P, o como el doble del área del sector circular determinado por el semieje positivo X, el segmento OP y la circunferencia unitaria.

Animación de la representación del seno hiperbólico.

De modo análogo, podemos definir las funciones hiperbólicas, como las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P de la hipérbola equilátera, centrada en el origen, cuya ecuación es

\ x^2-y^2=1

siendo t el doble del área de la región comprendida entre el semieje positivo X, y el segmento OP y la hipérbola, según las siguientes igualdades:

 
\left \{ \begin{matrix}
           x(t) = \cosh t \\
           y(t) = \sinh t
\end{matrix}
\right .

Sin embargo, también puede demostrarse que es válida la siguiente descripción de la hipérbola:

\ x(t) = \frac {e^{t} + e^{-t}} {2}
\ y(t) = \frac {e^{t} - e^{-t}} {2}

dado que

\ \left ( \frac {e^{t} + e^{-t}} {2} \right )^2 - \left ( \frac {e^{t} - e^{-t}} {2} \right )^2 = 1

De modo que el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico admiten una representación en términos de funciones exponenciales de variable real:

\ \cosh(t) = \frac {e^{t} + e^{-t}} {2}
\ \sinh(t) = \frac {e^{t} - e^{-t}} {2}

Relaciones[editar]

Ecuación fundamental[editar]

\cosh^2(x) - \,\mathrm{sinh}^2(x) = 1 \,

Duplicación del argumento[editar]

Tenemos las siguientes fórmulas[2] muy similares a sus correspondientes trigonométricas

\cosh(x+y) = \cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)

que nos lleva a la siguiente relación:

\cosh(2x) = \cosh^2(x)+\,\mathrm{sinh}^2(x)

y por otra parte

\mathrm{sinh}(x+y) = \mathrm{sinh}(x)\cosh(y)+\mathrm{sinh}(y)\cosh(x)

que nos lleva a:

\mathrm{sinh}(2x) = 2\,\mathrm{sinh}(x)\cosh(x)

se tiene esta otra relación

\tanh(x + y)= \frac{\tanh (x) + \tanh (y)}{1 + \tanh (x) \tanh (y)}

que nos permite tener

\tanh(2x) = \frac{2\tanh x}{1 + \tanh^2 x}

Derivación e integración[editar]

\frac{d\ }{dx}(\cosh(x)) = \,\mathrm{sinh}\,(x)
\frac{d\ }{dx}(\,\mathrm{sinh}\,(x)) = \cosh(x)
\frac{d\ }{dx}(\,\tanh(x)) = \mathrm{sech}^2(x)
\frac{d\ }{dx}(\mathrm{coth}(x)) = -\mathrm{csch}^2(x)
\frac{d\ }{dx}(\mathrm{sech}(x)) = -\mathrm{sech}(x)\tanh(x)
\frac{d\ }{dx}(\mathrm{csch}(x)) = -\mathrm{csch}(x)\mathrm{coth}(x)

Además la integración al ser la operación inversa de la derivación es trivial en este caso.

La derivada de sinh(x) está dada por cosh(x) y la derivada de cosh(x) es sinh(x). El gráfico de la función cosh(x) se denomina catenaria.

Inversas de las funciones hiperbólicas y derivadas[editar]

Las funciones recíprocas y derivadas de las funciones hiperbólicas son:[3] [4]

\begin{align}
 
   \mbox {arg  sinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) &\frac{d}{dx} (\mbox {arg sinh}(x) ) &= \frac{1}{ \sqrt{x^{2} + 1} } \\

  \mbox {arg cosh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right); x \ge 1 &\frac{d}{dx}(\mbox {arg cosh(x)})&=\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}; x > 1\\

  \mbox {arg tanh} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right); \left| x \right| < 1 &\frac{d}{dx}(\mbox {arg tanh(x)}) &= \frac{1}{1-x^2};  \left| x \right| < 1\\

  \mbox {arg coth} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right); \left| x \right| > 1 & \frac{d}{dx}(\mbox  {arg coth(x)}) &= \frac{1}{1-x^2}; \left| x \right| > 1 \\

  \mbox {arg sech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} \right); 0 < x \le 1 & \frac{d}{dx}(\mbox {arg sech(x)})&=\frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}; 0 < x < 1 \\

  \mbox {arg csch} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\left| x \right|} \right); x \ne 0 & \frac{d}{dx}(\mbox  {arg csch(x)}) &= \frac{-1}{\left| x \right| \sqrt{1+x^2}}; x \ne 0
\end{align}

Series de Taylor[editar]

Las series de Taylor de las funciones inversas de las funciones hiperbólicas vienen dadas por:

\mbox{arg sinh} (x) = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots =
\mbox{arg sinh} (x) = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1
 \mbox{arg cosh} (x) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots ) =
 \mbox{arg cosh} (x) = \ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , x > 1
\mbox{arg tanh} (x) = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots =
\mbox{arg tanh} (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1
\mbox{arg csch} (x) = \mbox{arg sinh} (x^{-1}) = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots =
\mbox{arg csch} (x) =\sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1
\mbox{arg sech} (x) = \mbox{arg cosh} (x^{-1}) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots ) =
\mbox{arg sech} (x) =\ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {(2n)} , 0 < x \le 1
\mbox{arg coth} (x) = \mbox{arg tanh} (x^{-1}) = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots =
\mbox{arg coth} (x) =\sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| > 1

Relación con la función exponencial[editar]

De la relación del coseno y seno hiperbólico se pueden derivar las siguientes relaciones:

e^x = \cosh x + \sinh x\!

y

e^{-x} = \cosh x - \sinh x.\!

Estas expresiones son análogas a las que están en términos de senos y cosenos, basadas en la fórmula de Euler, como suma de exponenciales complejos.

Véase también[editar]

Funciones trigonométricas e hiperbólicas
Seno Coseno Tangente Cosecante Secante Cotangente
Función sen(x) cos(x) tan(x) cosec(x) sec(x) cot(x)
Inversa arcsen(x) arccos(x) arctan(x) arccosec(x) arcsec(x) arccot(x)
Hiperbólica senh(x) cosh(x) tanh(x) cosech(x) sech(x) coth(x)
Inversa arcsenh(x) arccosh(x) arctanh(x) arccosech(x) arcsech(x) arccoth(x)

Referencias[editar]

  1. Cálculo de Granville
  2. Bronshtein, I y otro (1982). Manual de Matemáticas para Ingenieros y estudiantes. Mir. p. 696. 
  3. Purcell, Edwin J. y otro (1987). Cálculo con Geometría Analítica. Prenttice-Hall Hispanoamericana S.A. p. 868. ISBN 0-13-111807-2. 
  4. wikipedia. «Hiperbolic» (en english).