Ecuación paramétrica

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Un ejemplo de una curva definida por ecuaciones paramétricas es la curva mariposa.

En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo (t) para determinar la posición y la velocidad de un móvil.

Descripción[editar]

En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de ésta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera (x, y) equivale a la expresión (x, f(x)).

Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de x en y, es decir que todos los valores x tengan un valor y sólo un valor correspondiente en y. No todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma como si se tratara de una función, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, en donde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto x como y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica) conocida como «parámetro».

Ejemplo[editar]

Sea 3x - 2y - 5 = 0 la ecuación general de una recta, entonces caben la ecuaciones paramétricas: x = 2t + 5, y = 3t + 5.[1]

Otro ejemplo[editar]

Dada la ecuación y = x^2, una parametrización tendrá la forma \begin{cases} x = u (t) \\ y = v (t) \end{cases}

Una parametrización posible sería \begin{cases} x = t \\ y = t^2 \end{cases}

Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones posibles. Una en donde x e y equivaliesen a 2U y 4U^2 sería igualmente válida. La diferencia sería que, para encontrar un punto determinado (a, b) de la curva, el valor del parámetro sería diferente en cada caso. Con el ejemplo dado, el punto (2, 4) de la curva aparecería en la primera parametrización cuando t = 2, y en el segundo cuando U = 1.

Curvas notables[editar]

Circunferencia[editar]

Ecuación paramétrica de la circunferencia goniométrica. La variable t es el ángulo y sus puntos son: (x, y) = (cost, sint).

Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que x^2 + y^2 =r^2

Una expresión paramétrica es \begin{cases} x = r \cos t  \\ y = r \sin t \end{cases}

Elipse[editar]

Una elipse con centro en el origen de coordenadas y que se interseque con el eje x en a y -a, y con el eje y en b y -b, verifica que \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1.

Una expresión paramétrica es \begin{cases} x = a \cos t \\ y = b \sin t \end{cases}.

Otras curvas[editar]

Diferentes figuras variando k

La expresión paramétrica de una función permite la construcción de una gran variedad de formas, simplemente variando alguna constante. A continuación se describe la función paramétrica:

x = (a - b) \cos(t)\ + b \cos(t ((a / b) - 1))
y = (a - b) \sin(t)\ - b \sin(t ((a / b) - 1))

Dependiendo del ratio k = a/b pueden obtenerse formas muy diversas.

En esta otra función se puede ver una gran variedad de formas en función de los exponentes j y k, variando los paràmetros a,b,c y d.

x = \cos(a t) - \cos(b t)^j
y = \sin(c t) - \sin(d t)^k

A continuación ejemplos para j=3 k=3 y j=3 k=4.

A continuación se describe otra función donde puede obtenerse una gran diversidad de formas, variando el valor de las constantes: i,j,a,b,c,d,e.

x = i \cos(a t) - \cos(b t) \sin(c t)
y = j \sin(d t) - \sin(e t)

Representación paramétrica de una curva[editar]

La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente o parámetro (habitualmente se considera que t es un número real y que los puntos del espacio n-dimensional están representados por n coordenadas reales), de la forma e_i=f_i(t),\,f_i:[a,b] \rightarrow  {\mathbb R}, donde ei representa la i-ésima coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t. Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3 funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t)

Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a cada punto a \leq t < b le corresponda un punto distinto de la curva; si las coordenadas del punto obtenido al hacer t = a son las mismas del punto correspondiente a t = b la curva se denomina cerrada.

Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es un punto ordinario si las derivadas de las funciones paramétricas existen en y son continuas en ese punto y al menos una es distinta de 0. Si un arco de curva está compuesto solamente de puntos ordinarios se denomina suave.

Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial

\vec{r}(t) = \sum_{i=1}^n f_i(t)\hat{e}_i = f_1(t)\hat{e}_1 + f_2(t)\hat{e}_2 + \dots + f_n(t)\hat{e}_n,

donde êi representa al vector unitario correspondiente a la coordenada i-ésima. Por ejemplo, las funciones paramétricas de un círculo unitario con centro en el origen son x = cos t, y = sen t. Podemos reunir estas ecuaciones como una sola ecuación de la forma

\vec{r}(t) = \cos(t)\hat{i} + \sin(t)\hat{j}.

Véase también[editar]

Notas y referencias[editar]

  1. "Geometría Analítica" de Gordon Fuller (1991) pág. 223

Enlaces externos[editar]