Distribución χ²

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Distribución χ² (ji-cuadrado)
Chi-square distributionPDF.png
Función de densidad de probabilidad
Chi-square distributionCDF.png
Función de distribución de probabilidad
Parámetros k > 0\, grados de libertad
Dominio x \in [0; +\infty)\,
Función de densidad (pdf) \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}\,
Función de distribución (cdf) \frac{\Gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}\,
Media k\,
Mediana aproximadamente k-2/3\,
Moda k-2\, if k\geq 2\,
Varianza 2\,k\,
Coeficiente de simetría \sqrt{8/k}\,
Curtosis 12/k\,
Entropía \frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)
Función generadora de momentos (mgf) (1-2\,t)^{-k/2} for 2\,t<1\,
Función característica (1-2\,i\,t)^{-k/2}\,

En estadística, la distribución de Pearson, llamada también ji cuadrado o chi cuadrado (χ²) es una distribución de probabilidad continua con un parámetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria

X = Z_1^2 + \cdots + Z_k^2

Donde Z_i son variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza uno. El que la variable aleatoria X tenga esta distribución se representa habitualmente así: X\sim\chi^2_k .

Propiedades[editar]

Función de densidad[editar]

Su función de densidad es:


f(x;k)=
\begin{cases}\displaystyle
\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\,x^{(k/2) - 1} e^{-x/2}&\text{para }x\ge0,\\
0&\text{para }x<0
\end{cases}

donde \Gamma es la función gamma.

Demostración
La función densidad de X_1=Z^2 si Z es tipo N(0,1) viene dada por


P(x,x+dx)=f(x_1)dx_1=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}dz

Despejando y teniendo en cuenta contribuciones positivas y negativas de z


f(x_1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x_1/2}x_1^{-\frac{1}{2}}

La función distribución de X=X_1+X_2+...+X_n viene dada por su convolución


f(x;k)=f(x_1) * f(x_2) * ... * f(x_k)

Aplicando transformada de Laplace


\mathcal{L}\left \{ f(x;k) \right \} =(\mathcal{L}\left \{ f(x_1) \right \} )^k=\frac{1}{(2(s+\frac{1}{2}))^{\frac{k}{2}}}

Aplicando antitransformada se obtiene f(x;k)


f(x;k)=\mathcal{L}^{-1}\left \{ \frac{1}{(2(s+\frac{1}{2}))^{\frac{k}{2}}} \right \}=\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\,x^{(k/2) - 1} e^{-x/2}

Función de distribución acumulada[editar]

Su función de distribución es

 F_k(x) = \frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}

donde \ \gamma(k,z) es la función gamma incompleta.

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k y 2k.

Relación con otras distribuciones[editar]

La distribución χ² es un caso especial de la distribución gamma. De hecho, X \sim \Gamma \left(\frac{k}{2}, \theta=2\right). Como consecuencia, cuando k=2, la distribución χ² es una distribución exponencial de media k=2.

Cuando k es suficientemente grande, como consecuencia del teorema central del límite, puede aproximarse por una distribución normal:

 \lim_{k \to \infty} \frac{\chi^2_k (x)}{ k }  = N_{(1,\sqrt{2/k})} (x)

Aplicaciones[editar]

La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la de la denominada prueba χ² utilizada como prueba de independencia y como prueba de bondad de ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student.

Aparece también en todos los problemas de análisis de varianza por su relación con la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución χ².

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]