Distribución χ²

Distribución χ² (ji-cuadrado)
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$k > 0\,$ grados de libertad
Dominio	$x \in [0; +\infty)\,$
Función de densidad (pdf)	$\frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}\,$
Función de distribución (cdf)	$\frac{\Gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}\,$
Media	$k\,$
Mediana	aproximadamente $k-2/3\,$
Moda	$k-2\,$ if $k\geq 2\,$
Varianza	$2\,k\,$
Coeficiente de simetría	$\sqrt{8/k}\,$
Curtosis	$12/k\,$
Entropía	$\frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)$
Función generadora de momentos (mgf)	$(1-2\,t)^{-k/2}$ for $2\,t<1\,$
Función característica	$(1-2\,i\,t)^{-k/2}\,$

En estadística, la distribución χ² (de Pearson), llamada Ji cuadrado, es una distribución de probabilidad continua con un parámetro $k$ que representa los grados de libertad de la variable aleatoria

$X = Z_1^2 + \cdots + Z_k^2$

donde $Z_i$ son variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza uno. El que la variable aleatoria $X$ tenga esta distribución se representa habitualmente así: $X\sim\chi^2_k$.

Es conveniente tener en cuenta que la letra griega χ se transcribe a otros idiomas (como el latín, el inglés o el alemán) como chi. En cualquier caso, la pronunciación en castellano es ji. Tal diferencia es debida a la ausencia una letra para el sonido «j» español en tales idiomas, y el sonido se imita con el digrafo «ch».

Propiedades

Función de densidad

Su función de densidad es:

$f(x;k)= \begin{cases}\displaystyle \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\,x^{(k/2) - 1} e^{-x/2}&\text{para }x\ge0,\\ 0&\text{para }x<0 \end{cases}$

donde $\Gamma$ es la función gamma.

Demostración

La función densidad de $X_1=Z^2$ si Z es tipo N(0,1) viene dada por $P(x,x+dx)=f(x_1)dx_1=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}dz$ Despejando y teniendo en cuenta contribuciones positivas y negativas de z $f(x_1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x_1/2}x_1^{-\frac{1}{2}}$ La función distribución de $X=X_1+X_2+...+X_n$ viene dada por su convolución $f(x;k)=f(x_1) * f(x_2) * ... * f(x_k)$ Aplicando transformada de Laplace $\mathcal{L}\left \{ f(x;k) \right \} =(\mathcal{L}\left \{ f(x_1) \right \} )^k=\frac{1}{(2(s+\frac{1}{2}))^{\frac{k}{2}}}$ Aplicando antitransformada se obtiene f(x;k) $f(x;k)=\mathcal{L}^{-1}\left \{ \frac{1}{(2(s+\frac{1}{2}))^{\frac{k}{2}}} \right \}=\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\,x^{(k/2) - 1} e^{-x/2}$

Función de distribución acumulada

Su función de distribución es

$F_k(x) = \frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}$

donde $\ \gamma(k,z)$ es la función gamma incompleta.

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k y 2k.

Relación con otras distribuciones

La distribución χ² es un caso especial de la distribución gamma. De hecho, $X \sim \Gamma(\frac{k}{2}, \theta=2).$ Como consecuencia, cuando $k=2$, la distribución χ² es una distribución exponencial de media $k=2$.

Cuando k es suficientemente grande, como consecuencia del teorema central del límite, puede aproximarse por una distribución normal:

$\lim_{k \to \infty} \frac{\chi^2_k (x)}{ k } = N_{(1,\sqrt{2/k})} (x)$

Aplicaciones

La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la de la denominada prueba χ² utilizada como prueba de independencia y como prueba de bondad de ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student.

Aparece también en todos los problemas de análisis de varianza por su relación con la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución χ².

Véase también

• Tablas distribución chi-cuadrado
• Tabla de contingencia
• Coeficiente de contingencia
• Coeficiente phi
• Jean-Paul Benzécri

Enlaces externos

• [1]Calcular la probabilidad de una distribución de Pearson con R (lenguaje de programación)