Mediana (estadística)

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En el ámbito de la estadística, la mediana representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.

Cálculo[editar]

Existen dos métodos para el cálculo de la mediana:

  1. Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.
  2. Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.

A continuación veamos cada una de ellas.

Datos sin agrupar[editar]

Sean x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como M_e, distinguimos dos casos:


a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición (n+1)/2 una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: M_e=x_{(n+1)/2}.

Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: x_1 = 3, x_2 = 6, x_3 = 7, x_4 = 8, x_5 = 9 => El valor central es el tercero: x_{(5+1)/2} = x_3 = 7. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (x_1, x_2) y otros dos por encima de él (x_4, x_5).


b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando n es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones n/2 y n/2+1. Es decir: M_e = (x_{\frac{n}{2}} + x_{{\frac{n}{2}}+1})/2.

Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: x_1 = 3, x_2 = 6, x_3 = 7, x_4 = 8, x_5 = 9, x_6 = 10. Aquí dos valores que están por debajo del x_{\frac {6} {2}} = x_3 = 7 y otros dos que quedan por encima del siguiente dato x_{{\frac {6} {2}}+1} = x_4 = 8. Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: M_e = \frac {x_3 + x_4}{2} = \frac {7 + 8} {2}=7,5.

Datos agrupados[editar]

Al tratar con datos agrupados, si  {{\frac {n} {2}}} coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abcisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

\frac{N_i-N_{i-1} }{a_i-a_{i-1} }=\frac{\frac{n}{2}-N_{i-1} }{p}\Rightarrow p=\frac{\frac{n}{2}-N_{i-1} }{N_i-N_{i-1} }(a_i-a_{i-1})

Donde N_{i} y N_{i-1} son las frecuencias absolutas acumuladas tales que N_{i-1} < {{\frac {n} {2}}} < N_{i}, a_{i-1} y a_{i} son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y M_e=a_{i-1}+p es la abscisa a calcular, la mediana. Se observa que a_{i} - a_{i-1} es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.

Ejemplos para datos sin agrupar[editar]

Ejemplo 1: Cantidad (N) impar de datos[editar]

xi fi Ni
1 2 2
2 2 4
3 4 8
4 5 13
5 8 21 > 19.5
6 9 30
7 3 33
8 4 37
9 2 39

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla:

Calificaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Número de alumnos 2 2 4 5 8 9 3 4 2

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas N_i. Así, aplicando la formula asociada a la mediana para n impar, se obtiene X (39+1) / 2 = X 20 .

  • Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20

Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar.En este ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.

Ejemplo 2: Cantidad (N) par de datos[editar]

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):

Calificaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Número de alumnos 2 2 4 5 6 9 4 4 2
xi fi Ni+w
1 2 2
2 2 4
3 4 8
4 5 13
5 6 19 = 19
6 9 28
7 4 32
8 4 36
9 2 38

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas N_i. Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para n par, se obtiene Formula:  X = n/2 ==> X =(38 / 2) => X =19 (Donde n= 38 alumnos divididos entre dos).

  • Ni-1< n/2 < Ni = N18 < 19 < N19

Con lo cual la mediana será la media aritmética de los valores de la variable que ocupen el decimonoveno y el vigésimo lugar. En el ejemplo el lugar decimonoveno lo ocupa el 5 y el vigésimo el 6 con lo que Me = (5+6)/2 = 5,5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5,5 o menos y la otra mitad un 5,5 o más.

Ejemplo para datos agrupados[editar]

Entre 1.50 y 1.60 hay 2 estudiantes.
Entre 1.60 y 1.70 hay 5 estudiantes.
Entre 1.70 y 1.80 hay 3 estudiantes.


Mediana= 1.60 + \left( \frac{(10/2)-2}{5} \right)0.1=1.66

Método de cálculo general[editar]

xi fi Ni
[x11-x12]
f1
N1
.
.
.
.
.
.
.
.
N(i-2)
[x(i-1)1-x(i-1)2]
f(i-1)
f(i-1)-N(i-2)=N(i-1)
[xi1-xi2]
fi
fi-Ni-1=Ni
[x(i+1)1-x(i+2)2]
f(i+1)
f(i+1)-Ni=N(i+1)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
[xM1-xM2]
fM
fM-N(M-1)=NM

Consideramos:

- x11 valor mínimo< Entonces:

Mediana= x_{i1} + \left( \cfrac{(N_M/2)-N_{i-1}}{f_i} \right).(x_{i2}-x_{i1})

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]