Curtosis

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En teoría de la probabilidad y estadística, la curtosis es una medida de la forma. Así, las medidas de curtosis tratan de estudiar la proporción de la varianza que se explica por la combinación de datos extremos respecto a la media en contraposición con datos poco alejados de la misma. Una mayor curtosis implica una mayor concentración de datos muy cerca de la media de la distribución coexistiendo al mismo tiempo con una relativamente elevada frecuencia de datos muy alejados de la misma. Esto explica una forma de la distribución de frecuencias con colas muy elevadas y un con un centro muy apuntado.

Definición de curtosis[editar]

Un coeficiente de apuntamiento o de curtosis es el basado en el cuarto momento con respecto a la media y se define como:

\beta_2=\frac{\mu_4}{\sigma^4}

donde \mu_4 es el 4º momento centrado o con respecto a la media y \sigma es la desviación estándar.


No obstante, está más extendida la siguiente definición del coeficiente de curtosis:

g_2=\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3

donde al final se ha sustraído 3 (que es la curtosis de la Normal) con objeto de generar un coeficiente que valga 0 para la Normal y tome a ésta como referencia de apuntamiento:

Tomando, pues, la distribución normal como referencia, una distribución puede ser:

  • más apuntada y con colas más anchas que la normal –leptocúrtica.
  • menos apuntada y con colas menos anchas que la normal- platicúrtica.
  • la distribución normal es mesocúrtica.

En la distribución normal se verifica que \mu_4=3\sigma^4, donde \mu_4 es el momento de orden 4 respecto a la media y \sigma la desviación típica.


Así tendremos que:

  • Si la distribución es leptocúrtica \beta_2>3 y g_2>0
  • Si la distribución es platicúrtica \beta_2<3 y g_2<0
  • Si la distribución es mesocúrtica \beta_2=3 y g_2=0


Otra forma de medir la curtosis se obtiene examinando la fórmula de la curtosis de la suma de variables aleatorias. Si Y es la suma de n variables aleatorias estadísticamente independientes, todas con igual distribución X, entonces Kurt[Y] = \frac{Kurt[X]}{n}, complicándose la fórmula si la curtosis se hubiese definido como \frac{\mu_4}{\sigma^4}.