Varianza

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En teoría de probabilidad y estadística, la varianza es una medida de la dispersión de una variable aleatoria X \,\! respecto a su esperanza E[X] \,\!. Se define como la esperanza de la transformación \left ( X - E[X] \right )^2 \,\!: esto es,

V(X)=E \left [ \left ( X - E[X] \right )^2 \right ] \,\!

Está relacionada con la desviación estándar o desviación típica, que se suele denotar por la letra griega σ (sigma) y que es la raíz cuadrada de la varianza,

\sigma = \sqrt {V(X)} \,\! o bien \sigma^2 = V(X) \,\!


Contenido

[editar] Propiedades de la varianza

Algunas propiedades de la varianza son:

  1. V(X) \geq 0 \,\!, propiedad que permite que la definición de desviación típica sea consistente.
  2. V(aX + b) = a^2 V(X) \,\! siendo a y b constantes cualesquiera. De esta última propiedad es fácil ver que la varianza de una constante es cero. i.e. V(b) = 0 \,\!
  3. V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \,\!, que se conoce como fórmula computacional para el cálculo de la varianza.

[editar] Ejemplo en los cálculos de la varianza

Aquí se muestra cómo calcular la varianza de un conjunto de datos. Los datos representan la edad de los miembros de un grupo de niños. { 4, 1, 11, 13, 2, 7 }


1. Calcular el promedio o media aritmética \overline{x}.

\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i.

En este caso, N = 6 porque hay seis datos:

x_1 = 4\,\!
x_2 = 1\,\!
x_3 = 11\,\!
x_4 = 13\,\!
x_5 = 2\,\!
x_6 = 7\,\!
\overline{x}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6 x_i       Sustituyendo N por 6
\overline{x}=\frac{1}{6} \left ( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 \right )
\overline{x}=\frac{1}{6} \left ( 4 + 1 + 11 + 13 + 2 + 7 \right )
\overline{x}= 6,33   Este es el promedio.


2. Cálculo de la varianza

var = {\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}
var = {\frac{1}{6} \sum_{i=1}^6 (x_i - \overline{x})^2}       
var = {\frac{1}{6} \sum_{i=1}^6 (x_i - 6.33)^2}       


var = {\frac{1}{6} \left [ (4 - 6,33)^2 + (1 - 6,33)^2 + (11 - 6,33)^2 + (13 - 6,33)^2 +(2 - 6,33)^2 + (7 - 6,33)^2 \right ] }
var = {\frac{1}{6} \left ( (-2,33)^2 + (-5,33)^2 + (4,67)^2 + (6,67)^2 + (-4,33)^2 + 0,67^2 \right ) }
var = {\frac{1}{6} \left ( 5,43 + 28,4 + 21,8 + 44,5 + 18,7 + 0,449 \right ) }
var = {\frac{119,28}{6}}
{var} = {19,88}\,\!   Ésta es la varianza.

[editar] Varianza muestral

Dentro de la estadística descriptiva, la varianza muestral se utiliza como medida de dispersión, cuya definición es:

s ^ 2(x) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2 \,\!

Operando la ecuación la varianza muestral se puede expresar como:

s ^ 2(x) = (\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n x_i ^ 2 ) - \overline{x} ^ 2 \,\!

También se expresa como la diferencia entre el momento de orden 2 y el cuadrado del valor esperado:

V(X)= E[ X^2] - E[ X ]^2 \,\!

Otra medida de dispersión similar, pero con la propiedad de insesgadez, es la cuasivarianza muestral:

s _ {n-1} ^ 2(x) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x}) ^ 2 \,\!

Operando la ecuación la cuasivarianza muestral se puede expresar como:

s _ {n-1} ^ 2(x) = \frac{1}{n-1} [\sum_{i=1}^n (x_i ^ 2) - n\overline{x} ^ 2] \,\!

Mientras que la desviación estándar se puede interpretar como el promedio de la distancia de cada punto respecto del promedio y está medida en las mismas unidades que la variable, la varianza está medida en "unidades al cuadrado".

[editar] Véase también

[editar] Referencias

  • 'Introducción a la Estadística Económica y Empresarial. Teoría y Práctica.' de Fco. Javier Martín-Pliego López, Editorial Thomson, 2007 (Madrid).
  • 'Manual de Estadística Empresarial con ejercicios resueltos' de Eva Ropero, María Eleftheriou, Luana Gava y Eva Romero. Editorial Delta Publicaciones. 2008 (Madrid).
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Varianza"
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