Teorema del límite central

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, si Sn es la suma de n variables aleatorias independientes y de varianza no nula pero finita, entonces la función de distribución de Sn «se aproxima bien» a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que esto ocurre cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.[1] [2]

Definición[editar]

Sea \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) la función de densidad de la distribución normal definida como[1]

f_{\mu,\sigma^2}(x)=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\; e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} },

con una media µ y una varianza σ2. El caso en el que su función de densidad sea \mathcal{N}(0,1), a la distribución se le conoce como normal estándar.

Se define Sn como la suma de n variables aleatorias, independientes, idénticamente distribuidas, y con una media µ y varianza σ2 finitas (σ2≠0):

 S_n = X_1 + \cdots + X_n \,

de manera que, la media de Sn es n·µ y la varianzaσ2, dado que son variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil la comprensión del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de Sn como

 Z_n\ =\ \frac{S_n - n \mu}{\sigma \sqrt{n}}

para que la media de la nueva variable sea igual a 0 y la desviación estándar sea igual a 1. Así, las variables Zn convergerán en distribución a la distribución normal estándar N(0,1), cuando n tienda a infinito. Como consecuencia, si Φ(z) es la función de distribución de N(0,1), para cada número real z:

 \lim_{n\to\infty} \operatorname{Pr}(Z_n \le z) = \Phi(z)\,

donde Pr( ) indica probabilidad y lim se refiere a límite matemático.

Enunciado formal[editar]

De manera formal, normalizada y compacta el enunciado del teorema es:[3]

Teorema del límite central: Sea {X_1}, {X_2}, ..., {X_n} un conjunto de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas con media μ y varianza 0 < \sigma^2 < \infty. Sea

S_n = X_1 + \cdots + X_n \,

Entonces

 \lim_{n\to\infty} \Pr\left ( \frac{S_n - n \mu}{\sigma \sqrt{n}} \le z \right ) = \Phi(z)\, .

Es muy común encontrarlo con la variable estandarizada Zn en función de la media muestral \overline{X}_n,

\frac{\overline{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}},

puesto que son equivalentes, así como encontrarlo en versiones no normalizadas como puede ser:[4] [5]

Teorema (del límite central): Sea {X_1}, {X_2}, ..., {X_n} un conjunto de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas de una distribución con media μ y varianza σ2≠0. Entonces, si n es suficientemente grande, la variable aleatoria

\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i

tiene aproximadamente una distribución normal con \mu_{\bar X} = \mu y \sigma^2_{\bar X}= \sigma^2/n.


Nota: es importante remarcar que este teorema no dice nada acerca de la distribución de {X_i}, excepto la existencia de media y varianza.[4]

Propiedades[editar]

  • El teorema del límite central garantiza una distribución normal cuando n es suficientemente grande.
  • Existen diferentes versiones del teorema, en función de las condiciones utilizadas para asegurar la convergencia. Una de las más simples establece que es suficiente que las variables que se suman sean independientes, idénticamente distribuidas, con valor esperado y varianza finitas.
  • La aproximación entre las dos distribuciones es, en general, mayor en el centro de las mismas que en sus extremos o colas, motivo por el cual se prefiere el nombre "teorema del límite central" ("central" califica al límite, más que al teorema).

Varianza nula o infinita[editar]

En el caso de n variables aleatorias Xi independientes e idénticamente distribuidas, cada una de ellas con varianza nula o infinita, la distribución de las variables:

S_n = \frac{X_1+\dots +X_n}{n}

no convergen en distribución hacia una normal. A continuación se presentan los dos casos por separado.

Varianza infinita[editar]

Considérese el caso de variables que siguen una distribución de Cauchy:

F_{X_i}(x) = \frac{1}{\pi} \arctan x

En este caso puede demostrarse que la distribución asintótica de Sn viene dada por otra distribución de Cauchy, con menor varianza:

F_{S_n}(x) = \frac{1}{\pi} \arctan \frac{x}{n}

Para otras distribuciones de varianza infinita no es fácil dar una expresión cerrada, par su distribución de proababilidad aunque su función característica si tiene una forma sencilla, dad apor el teorema de Lévy-Khintchine:[6]

\varphi_{S_n}(t) = \exp\left[ ist - c|t|^\alpha\left(1+ i\gamma\ \frac{t}{|t|} u(t,\alpha) \right) \right]

donde c \ge 0, -1 \ge \gamma \ge 1, 0 < \alpha \ge 2 y:

u(t,\alpha) = \begin{cases}
\tan \cfrac{\pi\alpha}{2} & \alpha \ne 1\\
\cfrac{2}{\pi} \ln |t| & \alpha = 1 \end{cases}

Las condiciones anteriores equivalen a que una distribución de probabilidad sea una distribución estable.

Varianza nula[editar]

Este caso corresponde trivialmente a una función degenerada tipo delta de Dirac cuya función de distribución viene dada por:

F_{X_i}(x) = \int_{-\infty}^x \delta(s-x_0)\ ds =
\begin{cases} 0 & x < x_0 \\ 1 & x \ge x_0 \end{cases}

En este caso resulta que la variable S_n trivialmente tiene la misma distribución que cada una de las variables independientes.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. a b Filmus, Yuval (enero a febrero de 2010) (en inglés). Two Proofs of the Central Limit Theorem.  pp. 1-3. http://www.cs.toronto.edu/~yuvalf/CLT.pdf. Consultado el 13 de diciembre de 2010. 
  2. Grinstead, Charles M.; Snell, J. Laurie (1997). «9. Central Limit Theorem». Introduction to Probability (PDF) (en inglés) (2 edición). AMS Bookstore. pp. 325–360. ISBN 0821807498. Consultado el 15 de abril de 2009. 
  3. Charles Stanton. «Central limit theorem» (en inglés). Probability and Statistics Demos. Consultado el 13 de diciembre de 2010.
  4. a b Wasserman, Larry. «5. Convergence of Random Variables». All of Statistics (en inglés). Springer. p. 77. ISBN 0-387-40272-1. 
  5. *Weisstein, Eric W. «Central Limit Theorem» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
  6. P. Ibarrola, L. Pardo y V. Quesada: Teoría de la Probabilidad, p. 521-522
  • Blaiotta, Jimena; Delieutraz, Pablo (30 de julio de 2004). «Teorema central del límite» (en castellano) (PDF). Consultado el 15 de diciembre de 2010.
  • Behar Gutiérrez, Roberto; Grima Cintas, Pere (2004). 55 respuestas a dudas típicas de Estadística. Madrid: Ediciones Díaz de Santos, S.A. pp. 187–189. ISBN 84-7978-643-4. 

Enlaces externos[editar]