Problema de Apolonio

En geometría plana euclidiana, el problema de Apolonio consiste en construir circunferencias que sean tangentes a tres circunferencias dadas. Apolonio de Perge (circa 262 a. C. - circa 190 a. C.) propuso y resolvió este problema famoso en la obra Ἐπαφαί (Epaphaí, "Tangencias"); la obra se ha perdido, pero se ha conservado una referencia de los resultados hecha en el siglo IV por Pappus de Alejandría. Tres circunferencias dadas tienen generalmente ocho circunferencias diferentes que son tangentes y cada solución contiene o deja de contener las tres circunferencias dadas de una manera diferente.

En el siglo XVI, Adriaan van Room resolvió el problema utilizando hipérboles secantes, pero esta solución no se basa únicamente en construcciones con regla y compás. François Viète encontró una solución aprovechando la simplificación de los casos extremos: cualquiera de las tres circunferencias dadas se puede reducir hasta tener un radio nulo (un punto) o ampliar hasta que tenga un radio infinito (una recta). El enfoque de Viète, que utiliza casos extremos sencillos para resolver otros más complicados, se considera una reconstrucción plausible del método de Apolonio. El método de van Room fue simplificado por Isaac Newton, que mostró que el problema de Apolonio es equivalente a encontrar una posición conociendo las diferencias de distancias a tres puntos conocidos. Esto tiene aplicaciones en navegación y en sistemas de posicionamiento como el LORAN.

Matemáticos posteriores introdujeron métodos algebraicos, que transforman el problema geométrico en una ecuación algebraica. Este métodos fueron simplificados aprovechando las simetrías inherentes al problema de Apolonio: por ejemplo, las circunferencias resolutorias suelen encontrarse en parejas, con una de ellas que contiene las circunferencias dadas que la otra no contiene. Joseph Diaz Gergonne aprovechó esta simetría para encontrar un elegante método para encontrar las soluciones con regla y compás, mientras que otros matemáticos utilizaron transformaciones geométricas como la reflexión en una circunferencia para simplificar la disposición de las circunferencias dadas. Estos desarrollos ofrecen una representación geométrica a través de métodos algebraicos (utilizando la geometría de la esfera de Lie) y una clasificación de soluciones para las treinta y tres disposiciones esencialmente diferentes posibles en la posición inicial de las tres circunferencias.

El problema de Apolonio ha impulsado mucha investigación adicional. Se han estudiado generalizaciones en tres dimensiones —la construcción de una esfera tangente a cuatro esferas dadas— y en dimensiones superiores. La disposición de tres circunferencias tangentes entre ellas ha recibido una atención especial. René Descartes dio una fórmula que relaciona los radios de las circunferencias dadas y los de las circunferencias resolutorias, que se conoce actualmente como teorema de Descartes. En este caso, la resolución iterante del problema de Apolonio lleva a la formación de uno de los primeros fractales descubiertos y dibujados. Este fractal tiene importancia en teoría de números, concretamente en los círculos de Ford y en el método de la circunferencia de Hardy-Littlewood.

Enunciado del problema

Una solución (en rosa) del problema de Apolonio. Las circunferencias dadas se muestran en negro.

El enunciado general del problema de Apolonio pide la construcción de una o más circunferencias que sean tangentes a tres objetos dados. Los objetos pueden ser una recta, un punto o una circunferencia de cualquier tamaño.​​​​ Estos objetos pueden ser colocados en cualquier disposición y se pueden cortar unos a otros; sin embargo, se suelen tomar diferentes, es decir, que no coincidan. Las soluciones del problema de Apolonio a veces se llaman "Circunferencias de Apolonio", aunque este término también se usa para otros tipos de circunferencias asociadas con Apolonio.

La propiedad de tangencia se define a continuación. En primer lugar, se asume que un punto, recta o circunferencia es tangente a sí mismo, por lo que si una circunferencia dada ya es tangente a los otros dos objetos, se cuenta como solución del problema de Apolonio. Se dice que dos objetos geométricos diferentes intersecan si tienen un punto en común. Por definición, un punto es tangente a una circunferencia o una recta si la interseca, es decir, si se sitúa sobre la misma, así, dos puntos diferentes no pueden ser tangentes. Si el ángulo entre rectas o circunferencias en el punto de intersección es cero, se dice que son tangentes, el punto de intersección se llama punto de tangencia. (La palabra "tangente" deriva del participio de presente latino tangens, que significa "tocante"). En la práctica, dos circunferencias distintas son tangentes si se intersecan en un solo punto, si se intersecan en dos puntos o no se intersecan, entonces no son tangentes. Esto mismo es válido para una recta y una circunferencia. Dos rectas diferentes no pueden ser tangentes al plano, aunque dos rectas paralelas se pueden considerar tangentes en un punto en el infinito en geometría inversiva.​​

La circunferencia resolutoria puede ser tangente internamente o externa a cada una de las circunferencias dadas. Una tangencia externa es aquella en la que las dos circunferencias se curvan hacia sentidos opuestos en el punto de intersección, se sitúan en los lados opuestos de la recta tangente en este punto, y ninguna de las dos incluye la otra. La distancia entre sus centros es igual a la suma de los radios. Por el contrario, una tangencia interna es aquella en la que las dos circunferencias se curvan hacia el mismo sentido en el punto de intersección correspondiente; las dos circunferencias se sitúan en el mismo lado de la recta tangente, y una de las dos incluye la otra. En este caso, la distancia entre sus centros es igual a la diferencia de los radios. Como ejemplo, en la primera imagen, la circunferencia rosa resolutoria es tangente internamente a la circunferencia negra dada de tamaño medio situada a la derecha, mientras que es tangente externamente a las circunferencias dadas más pequeña y más grande situadas a la izquierda.

El problema de Apolonio también se puede formular como el problema de encontrar uno o más puntos tales que las diferencias de sus distancias a tres puntos dados sean iguales a tres valores conocidos. Sea considerada una circunferencia resolutoria de radio r_s y tres circunferencias dadas de radios r₁, r₂ and r₃. Si la circunferencia resolutoria es tangente externamente a las tres circunferencias dadas, entonces las distancias entre el centro de la circunferencia resolutoria y los centros de las circunferencias dadas son: d₁ = r₁ + r_s, d₂ = r₂ + r_s y d₃ = r₃ + r_s, respectivamente. Por tanto, las diferencias entre estas distancias son constantes, es decir, d₁ − d₂ = r₁ − r₂; dependiendo de los radios conocidos de las circunferencias dadas y no del radio r_s de la circunferencia resolutoria, que se anula. Este segundo planteamiento del problema de Apolonio se puede generalizar a las circunferencias resolutorias tangentes internamente (por las que la distancia centro-centro es igual a la diferencia de los radios) cambiando las correspondientes diferencias de distancias por sumas de distancias, de modo que el radio de la circunferencia resolutoria r_s se vuelve a anular. La reformulación en términos distancias centro-centro es útil en la resolución que se muestra más abajo de Adriaan van Room e Isaac Newton, y también en el posicionamiento hiperbólico o trilateración, que consiste en localizar una posición a partir de las diferencias entre las distancias a tres puntos conocidos. Por ejemplo, los sistemas de navegación como el LORAN identifican la posición de un receptor a partir de las diferencias en el tiempo de llegada de las señales desde tres posiciones fijas, que corresponden a las diferencias en las distancias a los transmisores.​​

Historia

Se ha desarrollado un rico repertorio de métodos geométricos y algebraicos para resolver el problema de Apolonio,​​ que ha sido calificado de "el más famoso de todos" los problemas geométricos.​ El enfoque original de Apolonio de Perge se ha perdido, pero François Viète y otros han hecho reconstrucciones, basadas en las pistas de la descripción de Pappus de Alejandría.​​ El primer nuevo método de resolución fue publicado en 1596 por Adriaan van Room, que identificó los centros de las circunferencias resolutorias como puntos de intersección de dos hipérbolas.​​ El método de Van Room fue mejorado en 1687 por Isaac Newton en la obra Principia,​​ y por John Casey en 1881.​

A pesar del éxito en la resolución del problema de Apolonio, el método de van Room tiene una desventaja. Una propiedad muy apreciada en la geometría euclidiana clásica es la posibilidad de resolver problemas utilizando sólo construcciones con regla y compás.​ Muchas construcciones son imposibles utilizando sólo estas herramientas, como dividir un ángulo en tres partes iguales. Sin embargo, muchos de estos problemas "imposibles" se pueden resolver utilizando la intersección de curvas como las hipérboles, las elipses y las parábolas (secciones cónicas). Por ejemplo, la duplicación del cubo (el problema que trata de construir un cubo con el doble de volumen de un cubo dado) no se puede resolver utilizando sólo regla y compás, pero Menaechmus mostró que el problema puede resolverse utilizando la intersección de dos parábolas.​ Por tanto, la resolución de van Room —que utiliza la intersección de dos hipérboles— no determina si el problema satisface la propiedad de poder ser resuelto mediante construcciones con regla y compás.

François Viète, que fue precisamente el primero en convencer a su amigo Van Room a trabajar en el problema de Apolonio, desarrolló un método que precisa solamente el uso de construcciones con regla y compás.​ Antes del método de resolución de Viète, Regiomontanus dudaba de la posibilidad de resolución del problema de Apolonio con regla y compás.​ Viète resolvió en primer lugar algunos casos especiales sencillos del problema de Apolonio, como encontrar una circunferencia que pase por tres puntos dados, que sólo tiene una solución si los puntos son diferentes, formulando soluciones para casos especiales más complicados, en algunos de estos casos mediante la reducción o la ampliación de las circunferencias dadas.​ Según la referencia del siglo IV de Pappus de Alejandría, el libro propio de Apolonio sobre este problema —titulado Ἐπαφαί (Epaphaí, "Tangencias"; del latín: De tactionibus, De contactibus)— seguía una aproximación progresiva similar.​ Por tanto, la resolución de Viète se considera una reconstrucción plausible de la resolución de Apolonio, aunque también se han publicado independientemente otras reconstrucciones hechas por tres autores más.​

Durante el siglo XIX se desarrollaron muchas otras resoluciones geométricas del problema de Apolonio. Las más notables son las de Jean-Victor Poncelet (1811)​ y Joseph Diaz Gergonne (1814).​ Mientras que la resolución de Poncelet se basa en centros homotéticos de circunferencias y en el teorema de la potencia de un punto, el método de Gergonne aprovecha la relación de conjugación entre rectas y sus polos en una circunferencia. Los métodos que utilizan la inversión de la circunferencia fueron desarrollados por primera vez en 1879 por Julius Petersen;​ un ejemplo es el método de solución anular de HSM Coxeter.​ Otra aproximación utiliza la geometría de la esfera de Lie,​ desarrollada por Sophus Lie.

René Descartes e Isabel de Bohemia fueron los primeros en proporcionar resoluciones algebraicas, aunque los métodos que utilizaban eran bastante complejos.​ A finales del siglo XVIII y durante el XIX, se desarrollaron otros métodos algebraicos más prácticos por parte de muchos matemáticos, incluyendo Leonhard Euler,​ Nicolas Fuss,​ Carl Friedrich Gauss,​ Lazare Carnot,​ y Augustin Louis Cauchy.​

Métodos de resolución

Hipérbolas secantes

Dos circunferencias dadas (en negro) y una circunferencia tangente a las dos (en rosa). Las distancias de centro a centro d₁ y d₂ son iguales a r₁ + r_s y r₂ + r_s, respectivamente, y por tanto su diferencia es independiente de r_s.

La resolución de Adriaan van Room (1596) está basada en la intersección de dos hipérbolas.​​ Sean las circunferencias dadas C₁, C₂ y C₃. Van Room encontró la solución del problema general a través de la resolución de un problema más sencillo, consistente en encontrar las circunferencias que son tangentes a dos circunferencias dadas, como bien C₁ y C₂. Se dio cuenta que el centro de una circunferencia tangente a las dos circunferencias dadas debían estar situadas en una hipérbola. Para entenderlo, llamamos los radios de la circunferencia resolutoria y de las dos circunferencias dadas r_s, r₁ y r₂, respetivamente. La distancia d₁ entre el centro de la circunferencia resolutoria y el de C₁ puede ser r_s + r₁ o r_s − r₁, dependiendo de si se elige que estas circunferencias sean tangentes externa o internamente, de manera respectiva. Del mismo modo, la distancia d₂ entre el centro de la circunferencia resolutoria y el de C₂ puede ser r_s + r₂ o r_s − r₂, otra vez dependiendo del tipo de la tangencia elegida. Por lo tanto, la diferencia d₁ − d₂ entre estas distancias siempre es una constante que es independiente de r_s. Esta propiedad, que posee una diferencia fija entre las distancias al foco, caracteriza las hipérbolas, y por esta razón los posibles centros de una circunferencia resolutoria deben pertenecer a la hipérbola. Se puede crear una segunda hipérbola por la pareja de circunferencias dadas C₂ y C₃, por la que se debe elegir la tangencia externa o interna entre C₂ y la circunferencia resolutoria de manera consistente con la primera hipérbola. Una intersección de estas dos hipérbolas (si existe) da el centro de una circunferencia resolutoria que tiene las tangencias internas y externas escogidas en las tres circunferencias dadas. El conjunto completo de soluciones al problema de Apolonio se encuentra cuando se consideran todas las combinaciones posibles de tangencias internas y externas de la circunferencia resolutoria a las tres circunferencias dadas.

El conjunto de puntos con una relación constante de distancias d₁/d₂ a dos puntos fijos es una circunferencia.

Isaac Newton (1687) mejoró el método de van Room, de manera que los centros de las circunferencias resolutorias se encuentran en las intersecciones de una recta con una circunferencia.​ Newton formula el problema de Apolonio como un problema de trilateración: encontrar un punto Z a partir de tres puntos dados A, B y C, que las diferencias de distancias entre Z y los tres puntos dados tengan valores conocidos.​ Estos cuatro puntos corresponden al centro de la circunferencia resolutoria (Z) y los centros de las tres circunferencias dadas (A, B y C). En lugar de resolverlo a través de las dos hipérbolas, Newton construye las directrices correspondientes. Para cualquier hipérbola, la razón de distancias desde un punto Z al foco A ya la directriz es una constante llamada excentricidad. Las dos directrices se intersecan en un punto T, ya partir de sus razones de distancias conocidas, Newton construye una recta que pasa por T en la que Z debe pertenecer. Además, la razón de distancias TZ/TA también es conocida, por lo que el punto Z también está situado en una circunferencia conocida, porque Apolonio ya había demostrado que una circunferencia se puede definir como el conjunto de puntos que tienen una razón de distancias dada a dos puntos (como acotación al margen, esta definición es la base del sistema de coordenadas bipolares). Así pues, las soluciones del problema de Apolonio se pueden encontrar a partir de las intersecciones de una recta con una circunferencia.

Reconstrucción de Viète

La tangencia entre circunferencias se conserva si sus radios varían en cantidades iguales. Una circunferencia resolutoria (en rosa) se debe reducir o ampliar junto con las circunferencias que sean tangentes interiormente (la circunferencia negra de la derecha), mientras que las circunferencias tangentes exteriormente (las dos circunferencias negras de la izquierda) hacen la transformación contraria.

Tal como se explica más abajo, el problema de Apolonio tiene diez casos especiales, dependiendo de la naturaleza de los tres objetos dados, que pueden ser circunferencias (C), rectas (R) o puntos (P). Habitualmente, estos diez casos se clasifican con un código de tres letras como podría ser CCP.​ Viète resolvió los diez casos utilizando sólo construcciones con regla y compás, y utilizó las resoluciones de los casos más sencillos para conseguir resolver los más complicados.​​

Viète comenzó resolviendo el caso PPP (tres puntos) siguiendo el método de Euclides que se expone en su obra Elementos. A partir de aquí, derivó un teorema correspondiente al teorema de la potencia de un punto, que utilizó para resolver el caso RPP (una recta y dos puntos). Siguiendo a Euclides una segunda vez, Viète resolvió el caso RRR (tres rectas) utilizando el teorema de la bisectriz. Después obtuvo un teorema para construir la recta perpendicular a una bisectriz que pasa por un punto, que utilizó para resolver el problema RRP (dos rectas y un punto). Así ya había resuelto los cuatro primeros casos del problema de Apolonio, los que no contienen circunferencias. Para resolver los problemas restantes, Viète aprovechó el hecho de que se pueden variar a la vez las medidas de las circunferencias dadas y la circunferencia resolutoria mientras se preservan las tangencias. Si el radio de la circunferencia resolutoria varía una cantidad Δr, los radios de las circunferencias que son tangentes internamente también deben variar Δr, mientras que los radios de las circunferencias que son tangentes externamente deben variar —Δr. Así pues, al tiempo que la circunferencia resolutoria se agranda, las circunferencias dadas tangentes internamente se han de ampliar y, en cambio, las circunferencias dadas tangentes externamente deben reducirse, para mantener las tangencias. Viète utilizó este enfoque para reducir una de las circunferencias a un punto, lo que reduce el problema a un caso más sencillo ya resuelto. En primer lugar resolvió el caso CRR (una circunferencia y dos rectas) en la reducción de la circunferencia en un punto y transformando esto en un caso RRP. Después resolvió el caso CRP (una circunferencia, una recta y un punto) utilizando tres teoremas. Otra vez reduciendo una circunferencia en un punto, Viète transformó el caso CCR en un caso CRP. Después resolvió el caso CPP (una circunferencia y dos puntos) y el caso CCP (dos circunferencias y un punto), el último caso a través de dos teoremas. Finalmente, Viète resolvió el caso general CCC (tres circunferencias) reduciendo una circunferencia en un punto, transformándose así en el caso CCP ya resuelto.

Soluciones algebraicas

El problema de Apolonio se puede plantear como un sistema de tres ecuaciones, con el objetivo de encontrar el radio y la posición del centro de la circunferencia resolutoria.​ Como las tres circunferencias dadas y cualquier circunferencia resolutoria deben estar en el mismo plano, sus posiciones se pueden expresar en términos de las coordenadas (x, y) de los centros correspondientes. Por ejemplo, las posiciones de los centros de las tres circunferencias dadas se pueden denominar (x₁, y₁), (x₂, y₂) y (x₃, y₃), mientras que la posición del centro de la circunferencia resolutoria se puede denominar (x_s, y_s). Del mismo modo, los radios de las circunferencias dadas y el de la circunferencia resolutoria se pueden denominar r₁, r₂, r₃ y r_s, respectivamente. La condición de que la circunferencia resolutoria sea tangente a cada una de las tres circunferencias dadas se puede expresar con un sistema de tres ecuaciones con las tres incógnitas x_s, y_s y r_s:

$\left(x_{s}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{1}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{1}r_{1}\right)^{2}$

$\left(x_{s}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{2}r_{2}\right)^{2}$

$\left(x_{s}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{3}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{3}r_{3}\right)^{2}.$

Los tres números s₁, s₂ and s₃ del segundo miembro de estas ecuaciones, llamados signos, pueden ser igual a ±1, y especifican si la circunferencia resolutoria deseada es tangente internamente (s = 1) o externamente (s = -1) en la circunferencia dada correspondiente. Por ejemplo, la imagen que ilustra la SECI anterior, la circunferencia resolutoria rosa es tangente internamente a la circunferencia dada de tamaño mediano de la derecha y tangente externamente a las circunferencias dadas más grande y más pequeña de la izquierda, si las circunferencias dadas ordenan según el radio, los signos por esta solución serían "- + -". Como los tres signos se pueden elegir independientemente, hay ocho sistemas de ecuaciones posibles (2 × 2 × 2 = 8), cada uno corresponde a una de las ocho circunferencias resolutorias posibles.

El sistema general de tres ecuaciones de segundo grado se puede resolver por el método de las resultantes. Cuando se multiplican, las tres ecuaciones tienen x_s² + y_s² al miembro de la izquierda y r_s² al miembro de la derecha. Restante una ecuación de otra, estos términos cuadráticos se anulan, los términos lineales que quedan se pueden reorganizar para dar las fórmulas de las coordenadas x_s como también y_s

$x_{s}=M+Nr_{s}$

$y_{s}=P+Qr_{s}$

donde M, N, P y Q son funciones conocidas de las circunferencias dadas y la elección de los signos. La sustitución de estas fórmulas en una de las tres ecuaciones iniciales da una ecuación de segundo grado con la incógnita r_s, que se puede resolver mediante la fórmula de la ecuación de segundo grado. La sustitución del valor numérico de r_s a las fórmulas lineales da los valores correspondientes de x_s y y_s.

Los signos s₁, s₂ y s₃ al miembro de la derecha de las ecuaciones pueden ser elegidos de ocho maneras diferentes, y cada elección de signos da hasta dos soluciones, ya que la ecuación con incógnita r_s es de segundo grado. Esto podría hacer pensar (incorrectamente) que pueden haber hasta dieciséis soluciones del problema de Apolonio. Sin embargo, debido a una simetría entre las ecuaciones, si (r_s, x_s, y_s) es una solución, con signos s_i, entonces también lo es (−r_s, x_s, y_s), con los signos opuestos −s_i, que representa la misma circunferencia resolutoria. Por tanto, el problema de Apolonio tiene como máximo ocho soluciones independientes. Una manera de evitar este doble recuento es considerar sólo las circunferencias resolutorias con radio no negativo.

Las dos raíces de cualquier ecuación de segundo grado pueden ser de tres tipos diferentes: dos números reales distintos, dos números reales iguales (es decir, una raíz doble degenerada) o dos raíces complejas conjugadas. El primer caso corresponde a la situación común, cada pareja de raíces corresponde a una pareja de soluciones que están relacionadas por la inversión de la circunferencia, como se muestra en el apartado correspondiente. El segundo caso, en el que las dos raíces son iguales, se corresponde a una circunferencia resolutoria que se transforma en sí misma con la inversión. En este caso, una de las circunferencias dadas es una solución del problema de Apolonio y el número de soluciones diferentes se reduce en uno. El tercer caso, de radios complejos conjugados, no corresponde a ninguna solución geométricamente posible del problema de Apolonio, ya que una circunferencia resolutoria no puede tener un radio imaginario, por lo que el número de soluciones se reduce en dos. Curiosamente, el problema de Apolonio no puede tener seis soluciones, aunque puede tener cualquier otro número de soluciones de cero a ocho.​​

Geometría de la esfera de Lie

Las mismas ecuaciones algebraicas se pueden llevar al contexto de la geometría de la esfera de Lie.​ Esta geometría representa circunferencias, rectas y puntos de una manera unificada, como un vector de cinco dimensiones X = (v, c_x, c_y, w, sr), donde c = (c_x, c_y) es el centro de la circunferencia y r es su radio (no negativo). Si r no es cero, el signo puede ser positivo o negativo, por verlo, se representa la orientación de la circunferencia: las circunferencias orientadas en contra del sentido de las agujas del reloj tienen s positivo y, en cambio, las que están orientadas en el sentido de las agujas del reloj tienen s negativo. El parámetro w es cero para las rectas y uno en otro caso.

En este mundo de cinco dimensiones, existe un producto bilineal similar al producto escalar:

$\left(X_{1}|X_{2}\right):=v_{1}w_{2}+v_{2}w_{1}+\mathbf {c} _{1}\cdot \mathbf {c} _{2}-s_{1}s_{2}r_{1}r_{2}.$

La cuádrica de Lie se define como aquellos vectores cuyo producto consigo mismos (su norma al cuadrado) es cero, (X|X) = 0. Sean X₁ y X₂ dos vectores pertenecientes a esta cuádrica, la norma de sus diferencias es igual a:

$\left(X_{1}-X_{2}|X_{1}-X_{2}\right)=2\left(v_{1}-v_{2}\right)\left(w_{1}-w_{2}\right)+\left(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right)\cdot \left(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right)-\left(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2}\right)^{2}.$

El producto tiene la propiedad distributiva respecto a la suma y la resta (más precisamente, es bilineal):

$\left(X_{1}-X_{2}|X_{1}-X_{2}\right)=\left(X_{1}|X_{1}\right)-2\left(X_{1}|X_{2}\right)+\left(X_{2}|X_{2}\right).$

Como (X₁|X₁) = (X₂|X₂) = 0 (ambos pertenecen a la cuádrica de Lie) y w₁ = w₂ = 1 para circunferencias, el producto de dos vectores tales cualesquiera a la cuádrica es igual a:

$-2\left(X_{1}|X_{2}\right)=\left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}-\left(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2}\right)^{2}.$

donde las barras verticales que contienen c₁ − c₂ representan la longitud de este vector diferencia, es decir, la norma euclidiana. Esta fórmula muestra que si dos vectores cuádricos X₁ and X₂ son ortogonales (perpendiculares) el uno al otro —esto es, si (X₁|X₂)= 0—,entonces sus circunferencias correspondientes son tangentes. En caso de que los dos signos s₁ and s₂ sean iguales (es decir, que las circunferencias tengan la misma "orientación"), las circunferencias son tangentes internamente, la distancia entre sus centros es igual a la diferencia entre los radios:

$\left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.$

Por el contrario, si los dos signos s₁ and s₂ son diferentes (es decir, las circunferencias tienen "orientaciones" contrarias), las circunferencias son tangentes externamente, la distancia entre sus centros es igual a la suma de los radios:

$\left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.$

Por tanto, el problema de Apolonio se puede formular en términos de la geometría de Lie como el problema de encontrar vectores perpendiculares en la cuádrica de Lie, específicamente, el objetivo es identificar vectores resolutorios X_sol que pertenezcan a la cuádrica de Lie y sean también ortogonales (perpendiculares) a los vectores X₁, X₂ y X₃ correspondientes a las circunferencias dadas:

$\left(X_{\mathrm {sol} }|X_{\mathrm {sol} }\right)=\left(X_{\mathrm {sol} }|X_{1}\right)=\left(X_{\mathrm {sol} }|X_{2}\right)=\left(X_{\mathrm {sol} }|X_{3}\right)=0$

La ventaja de esta reformulación es que se pueden aprovechar los teoremas del álgebra lineal sobre el máximo número de vectores linealmente independientes simultáneamente perpendiculares. Esto proporciona otra manera de contar el máximo número de soluciones y extender el teorema a espacios de mayores dimensiones.​​

Métodos inversos

Un entorno de tratamiento natural por el problema de Apolonio es la geometría inversa.​​ La estrategia básica de los métodos inversos es transformar un problema de Apolonio dado en otro que sea más sencillo de resolver, las soluciones del problema original se encuentran a partir de las soluciones del problema transformado, al deshacer la transformación. Las transformaciones examinadas deben cambiar un problema de Apolonio en otro; además, deben transformar las circunferencias, rectas y puntos dados en otras circunferencias, rectas y puntos, y no en otras formas. La inversión de la circunferencia tiene esta propiedad y además permite elegir de forma libre el centro y el radio de la circunferencia invertida. Otras transformaciones plausibles podrían ser las isometrías del plano euclídeo, sin embargo éstas no simplifican el problema, pues sólo desplazan, giran o hacen una reflexión del problema original.

La inversión de la circunferencia de centro O y radio R consiste en la siguiente operación: a cada punto P se le asigna un nuevo punto P como O, P y P' deben estar alineados, y el producto de las distancias desde P y P' hasta el centro O sea igual al radio R al cuadrado:

${\overline {\mathbf {OP} }}\cdot {\overline {\mathbf {OP^{\prime }} }}=R^{2}.$

Así, si P está fuera de la circunferencia, entonces P' queda dentro, y viceversa. Cuando P es el mismo que O, se dice que la inversión envía el punto P en el infinito (en análisis complejo, el "infinito" se define en términos de la esfera de Riemann). La inversión tiene la útil propiedad que rectas y circunferencias siempre se transforman en rectas y circunferencias, y que los puntos siempre se transforman en puntos. En la inversión, las circunferencias se suelen transformar en otras circunferencias, sin embargo, si una circunferencia pasa por el centro de la circunferencia de inversión, se transforma en una recta, y viceversa. Es importante destacar que si una circunferencia corta la circunferencia de inversión en ángulos rectos (hay interseca perpendicularmente), no queda afectada por la inversión; se transforma en sí misma.

Las inversiones de la circunferencia corresponden a un subconjunto de las transformaciones de Möbius en la esfera de Riemann. El problema de Apolonio en el plano se puede llevar a la esfera con una proyección estereográfica inversa, por lo que las soluciones del problema en el plano corresponden con las soluciones a la esfera. Existen otras resoluciones inversas del problema a parte de las descritas anteriormente.​

Parejas de soluciones por inversión

Una pareja de soluciones conjugadas del problema de Apolonio (circunferencias en rosa), donde las circunferencias negras son las dadas.

Las soluciones del problema de Apolonio aparecen a menudo en parejas, por cada circunferencia resolutoria, existe una circunferencia resolutoria conjugada.​ Una circunferencia resolutoria contiene las circunferencias dadas que la conjugada no contiene, y viceversa. Por ejemplo, la ilustración de la derecha, una circunferencia resolutoria (rosa, arriba a la izquierda) con dos circunferencias dadas (negras), pero no contiene una tercera, al contrario, la solución conjugada (también rosa, abajo a la derecha) contiene la tercera circunferencia dada, pero no contiene las otras dos. Las dos circunferencias resolutorias conjugadas están relacionadas por la inversión, tal como se explica a continuación.

En general, dadas tres circunferencias diferentes cualesquiera existe una única circunferencia —la circunferencia radical— que las interseca a todas perpendicularmente, el centro de esta circunferencia es el centro radical de las tres circunferencias.​ Esto se muestra en la ilustración de la derecha, donde la circunferencia naranja interseca las circunferencias negras dadas en ángulos rectos. La inversión en la circunferencia radical no modifica las circunferencias dadas, pero transforma las dos soluciones conjugadas una en la otra. Bajo la misma inversión, los puntos de tangencia correspondientes a las dos circunferencias resolutorias se transforman el uno en el otro, en la ilustración los dos azules situados en cada recta verde se transforman el uno en el otro. Por ello, las rectas que unen estos puntos de tangencia conjugados no varían bajo la inversión, por lo que deben pasar por el centro de inversión, que es el centro radical (las rectas verdes que intersecan en el punto naranja en la ilustración).

Inversión para obtener un anillo

Una circunferencia resolutoria (en rosa) del primer grupo se sitúa entre las circunferencias concéntricas dadas (en negro). Dos veces r_s, el radio de las circunferencias resolutorias, es igual a la diferencia r_outer − r_inner de los radios interno y externo, mientras que dos veces su distancia al centro d_s es igual a su suma.

Una circunferencia resolutoria (en rosa) del segundo grupo contiene la circunferencia interna dada (en negro). Dos veces r_s, el radio de la circunferencia resolutoria, es igual a la suma r_outer + r_inner de los radios interno y externo, mientras que dos veces su distancia al centro d_s es igual a su diferencia.

Si dos de las tres circunferencias dadas no se intersecan, se puede escoger un centro de inversión de modo que estas dos circunferencias dadas queden concéntricas.​​ Bajo esta inversión, las circunferencias resolutorias deben situarse dentro del anillo formado por las dos circunferencias concéntricas. Por lo tanto, pertenecen a dos grupos de un solo parámetro. En el primer grupo, las soluciones no contienen la circunferencia concéntrica interna, sino que giran como las bolas de un cojinete de rodadura en el anillo. En el segundo grupo, las circunferencias resolutorias contienen la circunferencia concéntrica interna. En general, existen cuatro soluciones para cada grupo, y por lo tanto hay un total de ocho soluciones posibles, tal como ya se había visto con las resoluciones algebraicas.

Cuando dos de las circunferencias dadas son concéntricas, el problema de Apolonio se puede resolver fácilmente siguiendo un método de Gauss, creado por Carl Friedrich Gauss.​ Los radios de las tres circunferencias dadas son conocidos, como también lo es la distancia d_non del centro concéntrico común y el centro de la circunferencia no concéntrica. La circunferencia resolutoria se puede determinar a partir de su radio r_s, el ángulo θ, y las distancias d_s y d_T desde su centro hasta el centro concéntrico común y de este último hasta el centro de la circunferencia no concéntrica, respectivamente. El radio y la distancia d_s son conocidos, y la distancia d_T = r_s ± r_non, dependiendo de si la circunferencia resolutoria es tangente internamente o externa a la circunferencia no concéntrica. Por lo tanto, aplicando la ley del coseno:

$\cos \theta ={\frac {d_{\mathrm {s} }^{2}+d_{\mathrm {non} }^{2}-d_{\mathrm {T} }^{2}}{2d_{\mathrm {s} }d_{\mathrm {non} }}}\equiv C_{\pm }.$

Aquí, una nueva constante C ha sido definida para abreviar esto, con el subíndice que indica si la solución es tangente externamente o interna. Una simple reordenación trigonométrica de las cuatro soluciones:

$\theta =\pm 2\ \mathrm {atan} \left({\sqrt {\frac {1-C}{1+C}}}\right).$

Esta fórmula representa cuatro soluciones, correspondiente a las dos elecciones del signo de θ, y las dos elecciones por C. Las cuatro soluciones restantes se pueden obtener por el mismo método, utilizando las sustituciones por r_s y d_s indicadas al pie de la imagen que ilustra el segundo grupo. Así, las ocho soluciones que corresponden al problema de Apolonio se pueden encontrar, de manera general, por este método.

Dos circunferencias dadas cualesquiera que no se intersecan pueden transformarse en concéntricas de la siguiente manera. Se construye el eje radical de las dos circunferencias dadas, escogiendo dos puntos arbitrarios P y Q en este eje radical, pudiéndose construir dos circunferencias centradas en P y Q y que intersecan las dos circunferencias dadas perpendicularmente. Estas dos circunferencias construidas intersecan en dos puntos. La inversión en uno de estos puntos de intersección F transforma las circunferencias construidas en rectas que pasan por F y las dos circunferencias dadas en circunferencias concéntricas, con la tercera circunferencia dada que se transforma en otra circunferencia (en general). Por este resultado se obtiene que el sistema de circunferencias es equivalente a un conjunto de circunferencias de Apolonio, formando así un sistema de coordenadas bipolares.

Cambios de tamaño e inversión

La utilidad de la inversión se puede incrementar significativamente con los cambios de tamaño.​​ Como se explica en la reconstrucción de Viète, las tres circunferencias dadas y la circunferencia resolutoria se pueden cambiar de tamaño a la vez mientras se mantienen las tangencias. Así, el problema de Apolonio inicial se transforma en otro problema que puede ser más fácil de resolver. Por ejemplo, las cuatro circunferencias se pueden cambiar de tamaño de manera que una circunferencia resolutoria se reduzca a un punto; alternativamente, a menudo dos circunferencias dadas se pueden cambiar de tamaño para que sean tangentes entre ellas. En tercer lugar, las circunferencias dadas que se cortan también se pueden cambiar de tamaño para que no se intersequen, y después de esto se puede aplicar el método de inversión para obtener un anillo. En todos estos casos, la solución del problema de Apolonio original se obtiene a partir de la solución del problema transformado deshaciendo la inversión y los cambios de tamaño.

Reducción de una circunferencia dada a un punto

En el primer enfoque, las circunferencias dadas se reducen o aumentan de tamaño (según el tipo de tangencia) hasta que una de las circunferencias dadas se transforma en un punto P.​ Así, el problema de Apolonio degenera en el caso especial CCP, que consiste en encontrar una circunferencia resolutoria tangente a las dos circunferencias dadas restantes y que pase por el punto P. La inversión en una circunferencia centrada en P transforma las dos circunferencias dadas en nuevas circunferencias, y la circunferencia resolutoria en una recta. Por tanto, la solución transformada es una recta tangente a las dos circunferencias dadas transformadas. Pueden existir hasta cuatro rectas resolutorias, que se pueden construir desde los centros homotéticos interno y externo de las dos circunferencias. La reversión de la inversión en P y del cambio de tamaño transforma estas rectas resolutorias en las circunferencias resolutorias deseadas del problema de Apolonio original. Las ocho soluciones generales se pueden obtener reduciendo o aumentando las circunferencias de acuerdo con las tangencias internas y externas diferentes de cada solución, no obstante, se pueden reducir a un punto las circunferencias diferentes y así obtener soluciones diferentes.

Cambio de tamaño para obtener una tangencia entre dos circunferencias dadas

En el segundo enfoque, los radios de las circunferencias dadas son modificados en una cantidad Δr de manera que dos de ellas sean tangentes (se toquen).​ El punto de tangencia correspondiente se utiliza como centro de inversión en una circunferencia que interseca cada una de las dos circunferencias tangentes en dos puntos. Bajo la inversión, las dos circunferencias tangentes se transforman en dos rectas paralelas: su único punto de intersección se sitúa en el infinito después de la inversión, y por tanto no se pueden encontrar. La misma inversión transforma la tercera circunferencia en otra circunferencia. Las soluciones del problema invertido deben ser (1) rectas paralelas a las dos paralelas dadas y tangentes a la tercera circunferencia transformada, o bien (2) una circunferencia tangente a las dos paralelas (con radio igual a la mitad de distancia entre las paralelas) y tangente a la circunferencia dada transformada. La reversión de la inversión y el reajuste del radio de todas las circunferencias en Δr produce las circunferencias resolutorias tangentes a las tres circunferencias originales.

Resolución de Gergonne

Las dos rectas tangentes de los dos puntos de tangencia de una circunferencia dada intersecan al eje radical R (recta roja) de las dos circunferencias resolutorias (en rosa). Los tres puntos de intersección sobre I son los polos de las rectas que unen los puntos de tangencia azules en cada circunferencia dada (en negro).

El enfoque de Gergonne considera las circunferencias resolutorias en parejas.​ Sean C_A y C_B una pareja de circunferencias resolutorias y sean A₁, A₂, A₃, y B₁, B₂, B₃ sus puntos de tangencia con las tres circunferencias dadas, con el orden que corresponde. La resolución de Gergonne tiene como objetivo localizar estos seis puntos, y así encontrar las circunferencias resolutorias.

La idea de Gergonne era que si se pudiera construir una recta L₁ de manera que A₁ y B₁ se pertenecieran, estos dos puntos se podrían identificar como los puntos de intersección de L₁ con la circunferencia dada C₁. Los otros cuatro puntos de tangencia se podrían situar de manera análoga, construyendo las rectas L₂ y L₃ que contuvieran A₂ y B₂, y A₃ y B₃, respectivamente. Para construir una recta como L₁, deben encontrar dos puntos que pertenezcan, pero estos puntos no pueden ser los puntos de tangencia. Gergonne fue capaz de encontrar otros dos puntos por cada una de las tres rectas. Uno de los dos puntos ya es conocido: se trata del centro radical G que pertenece a las tres rectas.

Para encontrar un segundo punto de las rectas L₁, L₂ y L₃, Gergonne observó una relación recíproca entre estas rectas y el eje radical R de las circunferencias resolutorias, C_A y C_B. Para entender esta relación recíproca, se pueden considerar las dos rectas tangentes a la circunferencia C₁ dibujadas a sus puntos de tangencia A₁ y B₁ con las circunferencias resolutorias, el punto de intersección entre estas dos rectas es el polo de L₁ respecto a C₁. Como las distancias entre este punto (el polo) y los puntos de tangencia A₁ y B₁ son iguales, el polo también tiene que estar situado en el eje radical R de las circunferencias resolutorias, por definición. La relación entre los polos y las respectivas rectas polares es recíproca, si el polo de L₁ respecto a C₁ pertenece a I, el polo de I respecto a C₁ debe pertenecer a L₁. Así, si se conoce R, se puede encontrar su polo P₁ respecto a C₁, y se obtiene como resultado el segundo punto de L₁.

Los polos (puntos rojos) del eje radical R en las tres circunferencias dadas (en negro) se sitúan en las rectas verdes que unen los puntos de tangencia. Estas rectas se pueden construir a partir de los polos y del centro radical (en naranja).

Gergonne encontró el eje radical R de las circunferencias resolutorias desconocidas de la siguiente manera. Cualquier pareja de circunferencias tiene dos centros de semejanza; estos dos puntos son los dos puntos de intersección posibles de las rectas tangentes a las dos circunferencias. Por tanto, las tres circunferencias dadas tienen un total de seis centros de semejanza, dos por cada pareja diferente de circunferencias dadas. Sorprendentemente, estos seis puntos se encuentran a cuatro rectas, tres puntos en cada recta, por otra parte, cada recta corresponde al eje radical de una pareja potencial de circunferencias resolutorias. Para demostrar esto, Gergonne consideró rectas que pasaran por los puntos de tangencia de dos de las circunferencias dadas, es decir, la recta determinada por A₁/A₂ y la determinada por B₁/B₂. Sea X₃ uno de los dos centros de semejanza de las circunferencias C₁ y C₂ y después A₁/A₂ y B₁/B₂ son parejas de puntos antihomológicas, y las rectas respectivas intersecan a X₃. De ello se deduce, por tanto, que los productos de las distancias son iguales:

${\overline {X_{3}A_{1}}}\cdot {\overline {X_{3}A_{2}}}={\overline {X_{3}B_{1}}}\cdot {\overline {X_{3}B_{2}}}$

o que implica que X₃ esté situado en el eje radical de las dos circunferencias resolutorias. El mismo razonamiento se puede aplicar a las otras parejas de circunferencias, de modo que tres centros de semejanza de las tres circunferencias dadas deben encontrarse en el eje radical de parejas de circunferencias resolutorias.

En resumen, la recta L₁ buscada queda determinada por dos puntos: el centro radical G de las tres circunferencias dadas y el polo respecto a C₁ de una de las cuatro rectas que unen los centros homotéticos. El hecho de encontrar los mismos polos respecto a C₂ y C₃ permite obtener L₂ y L₃, respectivamente, así, se pueden situar los seis puntos y encontrar una pareja de circunferencias resolutorias. La repetición de este procedimiento con las otras tres rectas que unen centros homotéticos da seis soluciones más, formando un total de ocho soluciones. Sin embargo, si una recta L_k no interseca la circunferencia correspondiente C_k para algún valor de k, no existe la pareja de circunferencias resolutorias para esta recta de centros de homotecia.

Casos especiales

Diez combinaciones de puntos, rectas y circunferencias

El problema de Apolonio consiste en construir una o más circunferencias tangentes a tres objetos dados, que pueden ser circunferencias, puntos o rectas. Esto da hasta diez tipos de problemas de Apolonio, correspondientes a cada combinación de circunferencias, rectas y puntos, a las que se puede designar un código de tres letras, C, R (L en inglés), o bien P, para denotar si los objetos dados son una circunferencia, una recta o un punto, respectivamente.​ Por ejemplo, el tipo de problema de Apolonio con una circunferencia, recta y punto dados se indica con el código CRP.

Algunos de estos casos especiales son más fáciles de resolver que el caso general de tres circunferencias dadas. Los dos casos más sencillos son los que se tratan de dibujar una circunferencia que pase por tres puntos dados (PPP) o tangente a tres rectas (RRR), que fueron resueltos por Euclides en la obra Elementos. Por ejemplo, el caso PPP se puede resolver como se explica a continuación. El centro de la circunferencia resolutoria es equidistante a los tres puntos, y por lo tanto, debe situarse sobre la mediatriz del segmento formado por dos de los puntos. En consecuencia, el centro es el punto de intersección de dos de las mediatrices. Del mismo modo, en el caso RRR, el centro se situará sobre las bisectrices de los ángulos formados en los tres puntos de intersección entre las rectas dadas, por lo que el nuevo centro se sitúa el punto de intersección de dos de estas bisectrices. Como hay dos bisectrices en cada punto de intersección de las tres rectas dadas, existen cuatro soluciones al problema general RRR.

Los puntos y las rectas se pueden considerar casos especiales de las circunferencias, un punto se puede considerar una circunferencia de radio infinitamente pequeño, y una recta se puede concebir como una circunferencia infinitamente grande con el centro también situado en el infinito. Visto así, el problema de Apolonio general consiste en construir circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas. Los otros nueve casos que comportan el uso de rectas y puntos se pueden considerar casos límite del problema general.​​ A menudo estos casos especiales tienen menos soluciones que el problema general, por ejemplo, el reemplazo de una circunferencia dada por un punto deja en la mitad el número de soluciones, ya que un punto se puede concebir como una circunferencia infinitesimal que es a la vez tangente interna y externa.

Tabla 1: Diez tipos de Problemas de Apolonio

Índice	Código	Elementos dados	Número de soluciones (en general)	Ejemplo (soluciones en rosa; círculos dados en negro)
1	PPP	tres puntos	1
2	LPP	una línea y dos puntos	2
3	LLP	dos líneas y un punto	2
4	CPP	un círculo y dos puntos	2
5	LLL	tres líneas	4
6	CLP	un círculo, una línea y un punto	4
7	CCP	dos círculos y un punto	4
8	CLL	un círculo y dos líneas	8
9	CCL	dos círculos y una línea	8
10	CCC	tres círculos (el problema original)	8

Número de soluciones

Un problema de Apolonio sin soluciones. Una circunferencia que resolviera el problema (en rosa) debería cruzar la circunferencia discontinua dada (en negro) para tocar las otras dos circunferencias (también en negro).

El problema consistente en contar el número de soluciones de diferentes tipos de problemas de Apolonio pertenece al campo de la geometría enumerativa.​​ El número de soluciones general para cada uno de los diez tipos de problema de Apolonio se muestra en la tabla superior. Sin embargo, algunas disposiciones especiales de los objetos dados pueden hacer cambiar el número de soluciones. Por ejemplo, como se muestra en la ilustración de la derecha, el problema de Apolonio no tiene solución si una circunferencia contiene otra, ya que para tocar la circunferencia interna es necesario cortar la externa, pero la circunferencia resolutoria no puede cortar una circunferencia y ser a la vez tangente. Por otro lado, si las tres circunferencias dadas son tangentes en el mismo punto, entonces cualquier circunferencia tangente al mismo punto es resolutoria, este tipo de problema de Apolonio tienen infinitas soluciones. Si las tres circunferencias dadas son idénticas, existen también un número infinito de soluciones. Si sólo dos de las circunferencias dadas son idénticas, sólo hay dos circunferencias diferentes, los centros de las infinitas circunferencias resolutorias forman una hipérbola, lo que se utiliza en un tipo de resolución del problema de Apolonio.

Una enumeración exhaustiva del número de soluciones para todas las disposiciones posibles de las tres circunferencias, puntos o rectas dadas fue realizada por Muirhead en 1896,​ aunque anteriormente la cuestión ya había sido tratada por Stoll,​ y Study.​ Sin embargo, la lista de Muirhead no estaba completa; y se amplió en 1974​ y la enumeración definitiva, con 33 casos diferentes, se publicó en 1983.​ Aunque normalmente las soluciones del problema de Apolonio van en parejas relacionadas por la inversión, es posible que en algunos casos haya un número impar de soluciones, como la solución única del caso PPP, o cuando una o tres circunferencias dadas son soluciones por sí mismas (como el teorema de Descartes). Sin embargo, no existe ningún problema de Apolonio con siete soluciones.​​ Otros métodos de resolución alternativos basados en la geometría de circunferencias y esferas han sido desarrollados y utilizados en dimensiones más grandes.​​

Circunferencias dadas tangentes entre ellas: circunferencias de Soddy y teorema de Descartes

Si las tres circunferencias dadas son tangentes entre ellas, el problema de Apolonio tiene cinco soluciones. Tres de las soluciones son las mismas circunferencias dadas, ya que cada una es tangente a sí misma con respecto a las otras dos. Las dos soluciones restantes corresponden a las circunferencias inscrita y circunscrita a la figura, y se llaman circunferencias de Soddy.​ Este caso especial del problema de Apolonio también se conoce como problema de las cuatro monedas.​​ Las tres circunferencias dadas de este problema de Apolonio forman una cadena de Steiner tangente a las dos circunferencias de Soddy.

Cualquier circunferencia de Soddy, junto con las tres circunferencias dadas, produce un conjunto de cuatro circunferencias que son tangentes entre todas ellas en seis puntos. Los radios de estas cuatro circunferencias están relacionados por una ecuación conocida como teorema de Descartes. En una carta del 1643 a la princesa Isabel I de Inglaterra,​ René Descartes demostró que:

$\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{s}\right)^{2}=2\,\left(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{s}^{2}\right)$

donde k_s = 1/r_s y r_s son la curvatura y el radio de la circunferencia resolutoria, respectivamente, y análogamente para las curvaturas k₁, k₂ y k₃ y los radios r₁, r₂ y r₃ de las tres circunferencias dadas. Por cada conjunto de cuatro circunferencias tangentes entre ellas, existe un segundo conjunto de cuatro circunferencias tangentes entre sí en los mismos seis puntos.​​

El teorema de Descartes fue descubierto independientemente en 1826 por Jakob Steiner,​ en 1842 por Philip Beecroft,​​​ y otra vez en 1936 por Frederick Soddy.​ Soddy publicó el descubrimiento en la revista científica Nature en un poema en inglés llamado The Kiss Precise (en español, El beso preciso). La primera estrofa describe las circunferencias de Soddy, mientras que la segunda formula el teorema de Descartes. En el poema de Soddy, se dice que dos circunferencias kiss (se besan) si son tangentes y el término "bend" se refiere a la curvatura k de la circunferencia.

For pairs of lips to kiss maybe
Involves no trigonometry.
'Tis not so when four circles kiss
Each one the other three.
To bring this off the four must be
As three in one or one in three.
If one in three, beyond a doubt
Each gets three kisses from without.
If three in one, then is that one
Thrice kissed internally.

Four circles to the kissing come.
The smaller are the benter.
The bend is just the inverse of
The distance from the center.
Though their intrigue left Euclid dumb
There's now no need for rule of thumb.
Since zero bend's a dead straight line
And concave bends have minus sign,
The sum of the squares of all four bends

Is half the square of their sum.

Pueden besarse los labios, dos a dos,
sin mucho calcular, sin trigonometría;
mas ¡ay! no sucede igual en Geometría,
pues si cuatro círculos tangentes quieren ser
y besar cada uno a los otros tres,
para lograrlo habrán de estar los cuatro
o tres dentro de uno, o alguno
por otros tres a coro rodeado. De estar uno entre tres, el caso es evidente
pues son todos besados desde afuera.
Y el caso tres en uno no es quimera,
al ser éste uno por tres veces besado internamente.

Cuatro círculos llegaron a besarse,
cuanto menores tanto más curvados,
y es su curvatura tan sólo la inversa
de la distancia desde el centro.
Aunque este enigma a Euclides asombrara,
ninguna regla empírica es necesaria:
al ser las rectas de nula curvatura
y ser las curvas cóncavas tomadas negativas,
la suma de cuadrados de las cuatro curvaturas

Es igual a un medio del cuadrado de su suma.

Daniel Pedoe trabajó en varias extensiones del teorema de Descartes.​

Fuentes

Bibliografía

• Boyd DW (1973). «The osculatory packing of a three-dimensional sphere». Canadian J. Math. 25: 303-322. 
• Callandreau, Édouard (1949). Célèbres problèmes mathématiques. Paris: Albin Michel. pp. 219-226. OCLC 61042170. 
• Camerer JG (1795). Apollonii de Tactionibus, quae supersunt, ac maxime lemmata Pappi, in hos libros Graece nunc primum edita, e codicibus manuscriptis, cum Vietae librorum Apollonii restitutione, adjectis observationibus, computationibus, ac problematis Apolloniani historia. Gothae: Ettinger. 
• Gisch D, Ribando JM (2004). «Apollonius’ Problem: A Study of Solutions and Their Connections». American Journal of Undergraduate Research 3: 15-25. 
• Pappus, Alexandrinus (1933). Pappus d'Alexandrie: La collection mathématique. Paris. OCLC 67245614.  Trans., introd., and notes by Paul Ver Eecke.
• Simon M (1906). Über die Entwicklung der Elementargeometrie im XIX. Jahrhundert. Berlin: Teubner. pp. 97-105. 
• Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. 3-5. ISBN 0-14-011813-6. 

Enlaces externos

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