Triángulo

El triángulo es un polígono de tres lados.

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

Convención de escritura

Un triángulo llamado ABC

Los puntos principales de una figura geométrica, como los vértices de un polígono, suelen ser designados por letras latinas mayúsculas: A, B, C, ...

Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, nombrando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles corresponde a un recorrido de su perímetro. Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices.

Los lados del triángulo, se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC, en nuestro ejemplo.

Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula latina: $a$ para BC, $b$ para AC, $c$ para AB.

La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ que comparten el extremo O es ${\widehat {POQ}}.\,$

También podemos utilizar una letra minúscula, habitualmente griega, coronada por un acento circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia de ambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por un acento circunflejo. En resumen, en nuestro ejemplo, podemos observar los ángulos:

${\widehat {\alpha }}={\widehat {a}}={\widehat {A}}={\widehat {BAC}},\ {\widehat {\beta }}={\widehat {b}}={\widehat {B}}={\widehat {ABC}}\ et\ {\widehat {\gamma }}={\widehat {c}}={\widehat {C}}={\widehat {ACB}}.\,$

Clasificación de los triángulos

Los triángulos se pueden clasificar por la longitud de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Por la longitud de sus lados

Por la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en:

• Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó $\pi /3\,$ radianes.)
• Triángulo isósceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.
• Triángulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

Equilátero	Isósceles	Escaleno

Por la amplitud de sus ángulos

Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

• Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
• Triángulo obtusángulo : si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor de 90°).
• Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Rectángulo	Obtusángulo	Acutángulo
	$\underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}$
	Oblicuángulos

Se llama triángulo oblicuángulo cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.

Clasificación según los lados y los ángulos

Los triángulos acutángulos pueden ser:

• Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura.

• Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.

• Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).

Los triángulos rectángulos pueden ser:

• Triángulo rectángulo isósceles: con un angulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

• Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos pueden ser:

• Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.

• Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

Triángulo	equilátero	isósceles	escaleno
acutángulo
rectángulo
obtusángulo

Congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen sean congruentes con los del otro triángulo.

Postulados de congruencia

Triángulo	Postulados de congruencia
	Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado) Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que los dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida.
	Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos).
	Postulado LLL (Lado, Lado, Lado) Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo.
	Postulado AAL (Ángulo, Ángulo, Lado) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no comprendido entre los ángulos, tienen la misma medida y longitud, respectivamente.

Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos tienen la misma amplitud y los lados opuestos de estos ángulos son proporcionales.

• Criterio aa (ángulo, ángulo). Si dos de sus ángulos son semejantes
• Criterio lal (lado, ángulo, lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.
• Criterio lll (lado, lado, lado). Si sus tres lados son proporcionales.

Semejanzas de triángulos rectángulos

Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumple con al menos uno de los criterios siguientes:

• Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro.
• Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.
• Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro.

Propiedades de los triángulos

Un cuadrilátero con sus diagonales.

Un tetraedro.

Un triángulo puede ser definido como un polígono de tres lados, o como un polígono con tres vértices.

Después del punto y el segmento, el triángulo es el polígono más simple. Es el único que no tiene diagonal. En el espacio, tres puntos definen un triángulo (y un plano). Por el contrario, si cuatro puntos de un mismo plano forman un cuadrilátero, cuatro puntos que no estén en el mismo plano no definen un polígono, sino un tetraedro

Por otra parte, cada polígono puede ser dividido en un número finito de triángulos que se forman con una triangulación del polígono. El número mínimo de triángulos necesarios para esta división es $n-2$, donde n es el número de lados del polígono. El estudio de los triángulos es fundamental para el estudio de otros polígonos, por ejemplo para la demostración del Teorema de Pick.

• Los tres ángulos internos de un triángulo miden 180° lo que equivale a π radianes, en geometría euclidiana.​

La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados.

Euclides había demostrado este resultado en sus Elementos (proposición I-32) de la siguiente manera: trazamos la paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta (AC) ángulos iguales, codificados en color rojo en la figura de al lado (ángulos alternos-internos). Del mismo modo, los ángulos codificados en color azul son iguales (ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ángulos del vértice C es el ángulo llano. Así que la suma de las medidas del ángulo de color rojo, del ángulo verde y del azul es un ángulo de 180 ° (o π radianes). La suma de los ángulos de un triángulo es 180 °.

Esta propiedad es el resultado de la geometría euclidiana. No se verifica en general en la geometría no euclidiana.

• La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

• El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.

• Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

${\frac {a}{\operatorname {sen} (\alpha \,)}}={\frac {b}{\operatorname {sen} (\beta \,)}}={\frac {c}{\operatorname {sen} (\gamma \,)}}$

El teorema de Pitágoras gráficamente.

• Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cos(\alpha \,)\,$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos(\beta \,)\,$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos(\gamma \,)\,$

• Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

Centros del triángulo

Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:

• Baricentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad
• Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados. Además, la circunferencia circunscrita contiene los puntos de intersección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto.
• Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos.
• Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas.
• Exincentros: son los centros de las circunferencias exinscritas, aquellas que son tangentes a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de una bisectriz interior y dos bisectrices exteriores de los ángulos.

El único caso en que los cuatro primeros centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.

Cálculo de los lados y los ángulos de un triángulo

En general, hay varios métodos aceptados para calcular la longitud de un lado y la medida de un ángulo. Mientras que ciertos métodos pueden ser adecuados para calcular los valores de un triángulo rectángulo, otros pueden ser requeridos en situaciones más complejas.

Para resolver triángulos utilizamos generalmente el Teorema de Pitágoras cuando son triángulos rectángulos, o los Teoremas del seno y del coseno.

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

Un triángulo rectángulo siempre incluye un ángulo de 90° (π/2 radianes), aquí etiquetado C. Los ángulos A y B puede variar. Las funciones trigonométricas especifican las relaciones entre las longitudes de los lados y los ángulos interiores de un triángulo rectángulo.

En triángulos rectángulos, las razones trigonométricas del seno, el coseno y la tangente pueden ser usadas para encontrar los ángulos y las longitudes de lados desconocidos. Los lados del triángulo son encontrados como sigue:

• La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o definida como el lado más largo de un triángulo rectángulo, en este caso h.
• El cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo en que estamos interesados, en este caso a.
• El cateto adyacente es el lado que está en contacto con el ángulo en que estamos interesados y el de ángulo recto, por lo tanto su nombre. En este caso el cateto adyacente es b.

Seno, coseno y tangente

El seno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto con la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

${\text{sen}}\alpha ={\frac {\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}{\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}}={\frac {a}{h}}.$

El coseno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

$\cos \alpha ={\frac {\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}{\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}}={\frac {b}{h}}.$

La tangente de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente. En nuestro caso

$\tan \alpha ={\frac {\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}{\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}}={\frac {a}{b}}.$

Observe que este cociente de las tres relaciones anteriores no depende del tamaño del triángulo rectángulo, mientras contenga el ángulo A, puesto que todos esos triángulos son semejantes.

Las siglas "SOH-CAH-TOA" son un mnemónico útil para estos cocientes.

Funciones inversas

Las funciones trigonométricas inversas pueden ser usadas para calcular los ángulos internos de un triángulo rectángulo al tener la longitud de dos lados cualesquiera.

Arcsin (arcoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del cateto opuesto y la de la hipotenusa.

$\theta =\arcsin \left({\frac {\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}{\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}}\right)$

Arccos (arcocoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del cateto adyacente y la de la hipotenusa.

$\theta =\arccos \left({\frac {\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}{\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}}\right)$

Arctan (arcotangente) puede ser usada para calcular un ángulo con la longitud del cateto opuesto y la del cateto adyacente.

$\theta =\arctan \left({\frac {\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}{\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}}\right)$

En los cursos introductorios de geometría y trigonometría, la notación sin⁻¹, cos⁻¹, etc., es frecuentemente usada en lugar de arcsin, arccos, etc. Sin embargo, la notación de arcsin, arccos, etc., es estándar en matemáticas superiores donde las funciones trigonométricas son comúnmente elevadas a potencias, pues esto evita la confusión entre el inverso multiplicativo y el inverso compositivo.

Elementos notables de un triángulo

Medianas y centro de gravedad

Medianas y centro de gravedad de un triángulo.

El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto se llama mediana.

Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto, $G$ en la figura, llamado centroide o baricentro del triángulo. Si éste es de densidad homogénea, entonces el centroide $G$ es el centro de masas del triángulo.

Cada una de las tres medianas dividen el triángulo en dos triángulos de áreas iguales. La distancia entre el baricentro y un vértice son 2/3 de la longitud de la mediana.

Las tres medianas dividen al triángulo en 6 triángulos de áreas iguales. Demostración: es obvio, por simetría, para un triángulo equilátero. Un triángulo cualquiera con sus tres medianas puede transformarse en un triángulo equilátero con su tres medianas mediante una transformación afín o una transformación lineal. El jacobiano (el factor por el que aumentan o disminuyen las áreas) de una transformación afín es el mismo en cualquier punto, de lo que se deduce la proposición que encabeza este párrafo.

Mediatrices y círculo circunscrito

Mediatrices y círculo circunscrito de un triángulo.

Se llama mediatriz de un triángulo a cada una de las mediatrices de sus lados $[AB]$, $[AC]$ et $[BC]$.

Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto $\Omega$ equidistante de los tres vértices. El círculo de centro $\Omega$ y radio $\Omega A$ que pasa por cada uno de los tres vértices del triángulo es el círculo circunscrito al triángulo.

Notas:

• Un triángulo es obtusángulo si y sólo si las bisectrices se cortan fuera del triángulo.
• Un triángulo es acutángulo si y sólo si las bisectrices se cortan dentro del triángulo.

Propiedad:

• $ABC$ es un triángulo rectángulo en $A$ si y sólo si el centro de su círculo circunscrito es el centro de $[BC]$.

Bisectriz y círculo inscrito

Bisectrices y círculo inscrito de un triángulo.

Las bisectrices de un triángulo son las tres bisectrizes de sus ángulos internos.

Las tres bisectrices de un triángulo son concurrentes en un punto O. El círculo inscrito del triángulo es el único círculo tangente a los tres lados del triángulo y está totalmente incluido en el triángulo. Tiene por punto central O, que es pues el centro del círculo inscrito en el triángulo.

Alturas y ortocentro

Alturas y ortocentro de un triángulo.

Se llama altura de un triángulo a cada una de las tres líneas que pasan por un vértice del triángulo y son perpendiculares a la cara opuesta al vértice. La intersección de la altura y el lado opuesto se denomina «pie» de la altura.

Estas 3 alturas se cortan en un punto único $H$ llamado ortocentro del triángulo.

Notas:

• Un triángulo es rectángulo si y sólo si su ortocentro es uno de los vértices del triángulo
• Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su ortocentro se encuentra fuera del triángulo
• Un triángulo es acutángulo si y sólo si su ortocentro está dentro del triángulo

Recta y círculo de Euler

Recta y círculo de Euler de un triángulo.

Los tres puntos $H$, $G$ y $\Omega$ están alineados en una línea recta llamada recta de Euler del triángulo y verifica la relación de Euler:

$\Omega H=3\Omega G\,$

Por otra parte, los puntos medios de los tres lados, los tres pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos $[AH]$, $[BH]$ y $[CH]$ están en un mismo círculo llamado círculo de Euler o círculo de los nueve puntos del triángulo.

En el espacio

Octaedro; poliedro de ocho caras triángulares.

Icosaedro; poliedro de veinte caras triangulares.

El triángulo es la forma de las caras de muchos poliedros regulares:tetraedro (cuatro caras que son triángulos equiláteros, es la pirámide de base triangular), octaedro (ocho caras, las pirámides de Egipto son medio-octaedros), icosaedro (veinte caras) ...

Historia

Problemas R49-> R55 del papiro Rhind.

Ningún documento matemático del Antiguo Imperio ha llegado hasta nosotros. Pero la arquitectura monumental de la (III Dinastía y la IV Dinastía de Egipto es una prueba notable de que los egipcios de esa época tenían conocimientos relativamente sofisticados de geometría, especialmente en el estudio de los triángulos.

Figura del triángulo representada en el problema R51 del papiro Rhind.

El cálculo de la superficie de esta figura se analiza en los problemas R51 del papiro Rhind, M4, M7 y M17 del papiro de Moscú, que datan todos del Imperio Medio. El problema R51 constituye en la historia mundial de las matemáticas, el primer testimonio escrito que trata del cálculo de la superficie de un triángulo.

Enunciado del problema R51 del papiro Rhind

​

Ejemplo de cálculo de un triángulo de tierra. Si alguien te dice: un triángulo de 10 khet sobre su mryt y de 4 khet de base. ¿Cuál es su área? Calcular la mitad de 4, que es 2 para formar un rectángulo. Multiplica 10 por 2. Esta es su área.

El término mryt significa probablemente la altura o el lado. Sin embargo, la fórmula utilizada para calcular el área hace pensar en la interpretación en favor de la primera solución.​El escriba tomaba la mitad de la base del triángulo y calculaba el área del rectángulo formado por ese lado y la altura; es decir

$A={\frac {base}{2}}{mryt}$

equivalente a la fórmula general utilizada en nuestros días:

$S={\frac {ah}{2}}$

El hecho de que un triángulo de lados 3-4-5 es rectángulo también era conocido por los antiguos egipcios y mesopotámicos.

Euclides, en el Libro I de sus Elementos , hacia el 300 antes de Cristo, enunció la propiedad de la suma de los ángulos del triángulo.

Véase también

• Congruencia de triángulos
• Triángulos semejantes
• Altura de un triángulo
• Vértice
• Teorema de Pitágoras
• Teorema de Tales
• Teorema del cateto
• Teorema del seno
• Teorema del coseno
• Recta de Euler
• Anexo:Ecuaciones de figuras geométricas
• Fórmula de Herón
• Cateto

Tipos de triángulos:

• triángulo equilátero, si tiene los tres ángulos y los tres lados iguales;
• triángulo rectángulo, si tiene uno de sus ángulos recto;
• triángulo sagrado egipcio, un triángulo rectángulo cuyos lados guardan la relación 3, 4, 5;
• triángulo esférico, si está contenido en una superficie esférica;
• triángulo Bézier, una superficie geométrica cuyos lados son curvas de Béizer;
• triángulo de Sierpinski, un fractal que se puede construir a partir de un triángulo.

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre triángulos.
• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre triángulo.