Distribución de Weibull

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda
Weibull (2-Parameter)
Probability distribution function
Función de densidad de probabilidad
Cumulative distribution function
Función de distribución de probabilidad
Parámetros escala (real)
forma (real)
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf)
Media
Mediana
Moda if
Varianza
Coeficiente de simetría
Curtosis (ver texto)
Entropía
Función generadora de momentos (mgf)
Función característica
[editar datos en Wikidata]

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de Weibull es una distribución de probabilidad continua. Recibe su nombre de Waloddi Weibull, que la describió detalladamente en 1951, aunque fue descubierta inicialmente por Fréchet (1927) y aplicada por primera vez por Rosin y Rammler (1933) para describir la distribución de los tamaños de determinadas partículas.

La función de densidad de una variable aleatoria con la distribución de Weibull x es:[1]

donde es el parámetro de forma y es el parámetro de escala de la distribución.

La distribución modela la distribución de fallos (en sistemas) cuando la tasa de fallos es proporcional a una potencia del tiempo:

  • Un valor k<1 indica que la tasa de fallos decrece con el tiempo.
  • Cuando k=1, la tasa de fallos es constante en el tiempo.
  • Un valor k>1 indica que la tasa de fallos crece con el tiempo.

Propiedades[editar]

Su función de distribución de probabilidad es:

para x ≥ 0, siendo nula cuando x < 0.

La tasa de fallos (hazard) es

La función generadora de momentos del logaritmo de la distribución de Weibull es[2]

donde Γ es la función gamma. Análogamente, la función característica del logaritmo es

En particular, el momento n-ésimo de X es:

Su media y varianza son

y

Mientras que su asimetría y curtosis son

y

donde .


Distribuciones relacionadas[editar]

La distribución de Weibull desplazada (a través de un parámetro adicional) también se encuentra en la literatura.[2]​ Tiene función de densidad

para y f(x; k, λ, θ) = 0 cuando x < θ, donde es el parámetro de forma, es el parámetro de escala y , el de localización. Coincide con la habitual cuando θ=0.

La distribución de Weibull puede caracterizarse como la distribución de una variable aleatoria X tal que

sigue una distribución exponencial estándar de intensidad 1.[2]​ De hecho, la distribución de Weibull coincide con la exponencial de intensidad 1/λ cuando k = 1 y la de distribución de Rayleigh de moda cuando k = 2.

La función de densidad de la distribución de Weibull cambia sustancialmente cuando k varía entre 0 y 3 y, en particular, cerca de x=0. Cuando k < 1 la densidad tiende a ∞ cuando x se aproxima a 0 y la densidad tiene forma de J. Cuando k = 1 la densidad tiene un valor finito en x=0. Cuando 1<k<2, la densidad se anula en 0, tiene una pendiente infinita en tal valor y es unimodal. Cuando k=2, la densidad tiene pendiente finita en 0. Cuando k>2, la densidad y su pendiente son nulas en cero y la densidad es unimodal. Conforme k crece, la distribución de Weibull converge a una delta de Dirac soportada en x=λ.

La distribución de Weibull también puede caracterizarse a través de la distribución uniforme: si X es uniforme sobre (0,1), entonces sigue una distribución de Weibull de parámetros k y λ. Este resultado permite simular numéricamente la distribución de manera sencilla.

La distribución de Weibull es un caso especial de la distribución Exponentiated Weibull distribution (de tres parámetros) cuando el parámetro adicional vale 1. También es un caso especial de la generalized extreme value distribution. Fue precisamente en este contexto que fue identificada por Maurice Fréchet in 1927.

Aplicaciones[editar]

La distribución de Weibull se utiliza en:

  • Análisis de la supervivencia
  • En ingeniería, para modelar procesos estocásticos relacionados con el tiempo de fabricación y distribución de bienes
Aplicación de la distribución de probabilidad acumulada de Weibull a lluvias diárias máximas.[3]
  • Teoría de valores extremos
  • Meteorología
  • Para modelar la distribución de la velocidad del viento (frecuencia con la que se dan diferentes velocidades de viento)
  • En telecomunicaciones
  • En sistemas de radar para simular la dispersión de la señal recibida
  • En seguros, para modelar el tamaño de las pérdidas
  • En la hidrología, se utiliza la distribución de Weibull para analizar variables aleatorias como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos,[4]​ y además para describir épocas de sequía.[5]
El imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución de Weibull a lluvias máximas diarias ordenadas, mostrando tambien la franja de 90% de confianza, basada en la distribución binomial. Las observaciones presentan los marcadores de posición, como parte del análisis de frecuencia acumulada.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Papoulis, Pillai, "Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 4th Edition
  2. a b c Johnson, Kotz y Balakrishnan, 1994
  3. CumFreq software para adecuación de distribuciones de probabilidad [1]
  4. Oosterbaan, R.J. (1994). «Chapter 6 Frequency and Regression Analysis». En Ritzema, H.P. Drainage Principles and Applications, Publication 16. Wageningen, The Netherlands: International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI). pp. 175-224. ISBN 90-70754-33-9. 
  5. Burke, Eleanor J.; Perry, Richard H.J.; Brown, Simon J. (2010). «An extreme value analysis of UK drought and projections of change in the future». Journal of Hydrology 388: 131. doi:10.1016/j.jhydrol.2010.04.035. 

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]

Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la de Weibull, a una serie de datos: