Usuario:Acratta/Las Matemáticas

Leyendo algunos artículos, algunas cosas que no sabía aprendí, y otras que había olvidado recordé, pero tambien puedo decir que algunas cosas no entiendo y otras no comparto, aunque mas adelante quizas sí. Vervi grattia Las Matemáticas, no son lo mismo para las diferentes personas y el monopolio de las definiciones de las definiciones, de definiciones de conceptos primitivos axiomas postulados teoremas y otros conjuntos de cosas. Cuanto mayor numero de definiciones correctas mas probable sera que alguien entienda alguna, asi que en esta sub página voy a recopilar las definiciones mejor expresadas que encuentre mientras leo los artículos.

Definiciones

Principios matemáticos

Principia mathematica

Principio de la suma

Conceptos primitivos

Contar,sumar etc. dibujar regla compas etc. medir proporcion tamaño etc.... pasando naturales sin cero, por primos compuestos y pares e impares, negativos enteros y fracción y racionales irracionales reales inmaginarios y complejos, hablando de números o personas y despues de muccho el axioma.

Problema matemático

La afirmación predicado o proposición o conjuntos de ellos:

La combinatoria es una rama de la matemática perteneciente al área de matemáticas discretas que estudia la enumeración, construcción y existencia de propiedades de configuraciones que satisfacen ciertas condiciones establecidas. Es una definición un postulado una formula bien formada un conjunto de reglas de inferencia o una categoria magma o fuctor, un metálogo todo depende en ultima instancia de la división entre dos y la raíz cuadrada de dos,y de los signos de puntuación, que no están en la identidad de Euler. Como que el Álgebra y la teoría de la probabilidad es una sub area de la combinatoria, que es indecible o concistente en determinados sistemas logicos cuando estos son las metavariables del lenguaje objeto de la metalógica.

Matemática pura

La matemática pura es la clase de todas las proposiciones de la forma p implica q, donde p y q son proposiciones que contienen una o más variables, idénticas en ambas proposiciones, y ni p y ni q contienen constantes otras que lógicas. Las constantes lógicas, por su parte, son nociones definibles en los términos siguientes: la implicación, que es la relación de un término respecto de una clase de la cual es miembro, la noción de manera tal que (such that), la noción de relación y nociones de ese tipo que pueden ser cubiertas por la noción general de proposiciones de la forma referida. Además de los mencionados, la matemática utiliza una noción que no es parte constituyente de las proposiciones que considera, específicamente, la noción de verdad.​

Para Luitzen Egbertus Jan Brouwer, el fundador de la corriente intuicionista, el principio del tercero excluido es una abstracción que resulta de la experiencia respecto de objetos finitos y que se extendió a aquellos infinitos sin justificación. Por ejemplo, si consideramos la Conjetura de Goldbach, todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos y es posible de comprobar, para un número determinado, si así sucede o no. Hasta ahora, todos los números investigados han verificado dicha propiedad.

Pero no existe ninguna prueba que esto suceda para todos los números como así tampoco ninguna prueba de que la conjetura no se verifique para todos los números. Pese a que no puede descartase de que la conjetura llegue algún día a demostrarse en un sentido u en otro, según Brouwer no es legítimo afirmar.

"La Conjetura de Goldbach es verdadera o bien no es verdadera."

Este argumento se aplica a todos los problemas similares aún no resueltos. Para Brouwer, aceptar la ley del tercero excluido equivale a suponer que todo problema matemático posee una solución.

Con el rechazo del principio del tercero excluido en tanto que axioma, el remanente del sistema lógico tiene una propiedad de existencia de la cual carece el sistema tradicional: cada vez que

$\exists _{x\in X}P(x)$ puede probarse de manera constructiva,

En realidad $P(a)$ puede probarse (al menos) Para un particular

$a\in X$.

De tal manera; la prueba de la existencia de un objeto matemático queda ligada a la posibilidad de su construcción.

Implicación

La implicación supone un contenido semántico además de formal.

Un sistema lógico se define como una estructura compuesta por un lenguaje formal junto con una relación binaria de consecuencia semántica (o implicación lógica ?) o una relación binaria de consecuencia sintáctica ├ (derivabilidad ?), o ambas. La relación de consecuencia semántica se define con respecto a una clase de estructuras y la relación de consecuencia sintáctica, con respecto a un sistema de pruebas.​

El cálculo lógico formal sirve para establecer una relación, o derivación entre una condición y su condicionado, o el establecimiento de una afirmación hipotética tiene validez lógica. Si las premisas son verdaderas lo es también la conclusión verdad lógica.

Cuando el cálculo tiene una intención argumentativa en su contenido semántico, entonces partimos de un contenido material afirmado como verdadero, cuya verdad es condición necesaria de la verdad de lo condicionado en la conclusión, como implicación.

Normalmente el uso lógico del pensamiento es argumentativo en este sentido, y por ello esta distinción no tiene mayor importancia en la vida ordinaria, y suele confundirse con facilidad.

Razón

La diferencia entre la validez inductiva y la deductiva es la siguiente: Una inferencia es deductivamente válida si y sólo si no hay posible situación en la cual todas las premisas son verdaderas y la conclusión falsa. La noción de validez deductiva puede ser rigurosamente establecida para un sistema deductivo en términos de las bien entendidas nociones de la semántica. La validez inductiva, por el otro lado, requiere que se defina una “generalización rentable” a partir de un conjunto de observaciones o propiedades cogentes. La tarea de proveer esta definición puede ser enfrentada de varias maneras, algunas menos formales que las otras; algunas de estas definiciones pueden usar modelos matemáticos de probabilidades.

Kurt Gödel ha demostrado que en cualquier formalización consistente de las matemáticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de números naturales, se puede construir una afirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema y que ningún sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo.

Por tanto, en nuestra época los razonamientos deductivos e inductivos deben complementarse y trabajar juntos, buscando así la verdad sobre la realidad y el entorno.

La división como tabú

La división no es propiamente dicho una "operación" (es decir, una ley de composición interna definida por todas partes), decir :

sus «propiedades» no tienen implicaciones estructurales sobre el conjunto de números, y deben ser comprendidas dentro del contexto de los números fraccionarios.

No tiene solidez; demostración:

Lo infinitesimal infinito irracional primo y par se definen con la división, el eufemismo de inverso multiplicativo es una necesidad.

• no-conmutativa, contraejemplo: $5\div 3\neq 3\div 5$;
• no-asociativa, contraejemplo: $12\div (4\div 3)\neq (12\div 4)\div 3$;
• pseudo-elemento neutro a la derecha: 1

${\dfrac {a}{1}}=a$;

• pseudo-elemento absorbente a la izquierda: 0

${\mbox{ si }}b\neq 0,{\dfrac {0}{b}}=0$;

• fracciones equivalentes:

${\dfrac {a}{b}}={\dfrac {c}{d}}\iff ad=bc\$.

Axiomas

Para que todos los procedimientos matemáticos usados sean válidos se debe partir de una base que respalde cada procedimiento, cada paso lógico usado, y debe, en consecuencia, demostrarse cada afirmación no trivial. Son estas demostraciones los pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda la veracidad de cualquier afirmación.

Las afirmaciones a las que se hace referencia se llaman axiomas. Serán, por lo tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en ocasiones ser demostradas cuando no lo son.

El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: afirmación no trivial, son los teoremas, que son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamará corolario.

Muchas partes de la matemática están axiomatizadas, lo que significa que existe un conjunto de axiomas de los cuales es posible deducir todas las verdades de esa parte de la matemática. Por ejemplo, de los axiomas de Peano es posible deducir todas las verdades de la aritmética (y por extensión, de otras partes de la matemática). Dos axiomas particularmente importantes y controversiales de la matemática son el quinto postulado de la geometría euclidiana, y el axioma de elección en la teoría de conjuntos, anque está el Constructivismo (matematicas) .

En lógica, con el fin de estudiar la validez de los argumentos o predicados y la noción de consecuencia lógica, los lógicos construyen sistemas formales, los cuales consisten en un lenguaje formal junto con un aparato deductivo. El aparato deductivo consiste, a su vez, en un conjunto de fórmulas selectas y un conjunto de reglas de inferencia o definiciones. Las fórmulas que pueden deducirse a partir de las fórmulas selectas utilizando las reglas de inferencia se conocen como teoremas. A las fórmulas selectas se las suele llamar axiomas, y pueden considerarse como los primeros principios de los sistemas formales.

En general, los axiomas se seleccionan de entre el resto de las fórmulas por dos razones: la primera, porque mediante la aplicación de las reglas de inferencia, es posible deducir de ellos todas las fórmulas que se desea tener como teoremas, y sólo esas fórmulas. La segunda, porque los axiomas resultan intuitivamente verdaderos. Este requisito de verdad intuitiva puede hacerse más riguroso si el sistema lógico cuenta con una semántica formal. Cuando se tiene una semántica formal, es posible determinar si una fórmula cualquiera es una verdad lógica o no. Los axiomas se seleccionarán entonces teniendo en cuenta no sólo su capacidad para demostrar teoremas, sino también por ser verdades lógicas. Una vez seleccionados los axiomas, en ocasiones es posible demostrar que todos los teoremas son verdades lógicas, y que todas las verdades lógicas son teoremas (en otras palabras, que el conjunto de los teoremas y de las verdades lógicas coinciden). Si el sistema lógico posee la primera propiedad, se dice que es correcto, y si posee la segunda, se dice que es completo. Estas dos propiedades metalógicas se encuentran entre las más deseables para un sistema lógico, y por lo tanto los axiomas generalmente se seleccionan teniendo en cuenta si permiten o no demostrar la corrección y completitud del sistema.

Lógica simbólica

La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas utilizando una notación matemática y estudiadas matemáticamente desarrollando así los sistemas formales. Las propiedades de estos sistemas son el campo de la metalógica.

La aplicación los sistemas formales a las matemáticas, en relación con el modo en el que codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y algoritmos, utilizando un lenguaje formal, suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.

La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la Filosofía analítica y la filosofía de la matemática.

La la función matemática lógicomatemátizar toma elementos del conjunto de la lógica o dominio de definición (v.g. reglas de inferencia y principios de la lógica clásica) y los transforma en constantes lógicas y variables discretas en el codominio, que es la lógica matemática.

Argumento

La función matemática $f(x)$ o propiedad (lógica) que se predica (predicado (lógica matemática)) $P(x)$, representan una mera posibilidad, una forma vacía de contenido; pero dicha función adquiere entidad y por tanto consistencia cuando la variable $x$ toma un valor de contenido lógico o numérico como argumento; de tal forma que la función pueda considerarse con respecto a un universo determinado como verdadera o falsa. Por eso $x$ se denomina argumento de la función.

Ambas representan solamente la posibilidad de que exista o se produzca una realidad como afirmación o como predicación cuando la $x$ tome un valor concreto relacionado con el mundo real.

Ejemplo de aplicación de una función matemática de cálculo algebraico a la resolución de una situación concreta como posible verdad

Ejemplo de aplicación de una función lógica como verdad posible de una situación concreta

La función $y=x+{\frac {16x}{100}}$ no significa nada, es una mera posibilidad de ser algo. Pero cuando la variable $x$ toma como argumento el valor 75 € correspondiente al precio de un artículo que se vende en una tienda, esa función representa lo que el comprador tiene que pagar al incluir el impuesto sobre el valor añadido del 16%. Lo que concede a dicha función la posibilidad de ser verdadera o falsa en relación con el mundo real de la experiencia en una sociedad determinada.

Cuando $P$ representa el verbo ladrar, y $x$ representa a mi perro Desko como argumento, entonces: $P(x)$ = Desko ladra. (Puede haber otro tipo de argumentos posibles de $x$, como $\lor x$ o $\land x$).​ Es entonces cuando dicha función adquiere la condición de hecho o situación que puede ser verdadera o falsa en el mundo de la realidad de la experiencia.