Principio de la suma

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En el principio de la suma o regla de la suma es una de los principios fundamentales de conteo. En su versión más simple establece:[1]

Principio de la suma (informal). Si una tarea se puede realizar de dos formas posibles, dando la primera m resultados posibles y la segunda n resultados posibles, entonces la tarea completa se puede arrojar m+n formas posibles.

Ejemplo
Si se desea escoger un alumno entre 2 grupos escolares disponibles, el primero con 25 alumnos y el segundo con 30, entonces se puede seleccionar al alumno de 25+30=55 maneras diferentes.

Versión formal[editar]

La versión informal del principio puede parecer evidente, aunque en realidad esconde una afirmación matemática precisa.[2]

Principio de la suma: Si A, B son conjuntos finitos disjuntos entonces

|A\cup B| = |A|+|B| = |X|.

En el teorema anterior |X| representa la cardinalidad (número de elementos) del conjunto X.

La relación con la versión informal del principio se obtiene tomando A como el conjunto de posibles resultados o selecciones del primer tipo, B el conjunto de resultados o selecciones del segundo, mientras que A \cup B es el conjunto total de resultados posibles.

Existe una generalización del principio de la suma para varios conjuntos:[3]

Principio de la suma: Si A_1,A_2,\ldots A_r son conjuntos finitos disjuntos por pares[nota 1] entonces

\left|\bigcup_{i=1}^r A_i\right| = |A_1\cup A_2 \cup \cdots \cup A_r| = |A_1|+|A_2|+\cdots+|A_r|=\sum_{i=1}^r |A_i|.

Aplicaciones[editar]

El principio de la suma se encuentra subyacente en toda prueba o enumeración donde se divida un conteo en casos separados.

Ejemplo: Conteo de opciones[editar]

Se desea determinar el número de enteros entre 1 y 50 que sean múltiplos de 7 o de 11.

Los números a considerar son de dos tipos: múltiplos de 7 y múltiplos de 11. Adicionalmente, no hay un número entre 1 y 50 que sea de ambos tipos de forma simultánea. Por tanto, dichos conjuntos son disjuntos.

En otras palabras, si

A = {múltiplos de 7 entre 1 y 50}={7, 14, 21, ..., 49}.

B = {múltiplos de 11 entre 1 y 50}={11, 22, 33, 44}.

entonces  A\cap B=\emptyset y el resultado deseado, por el principio de la suma, es |A| + |B|, es decir: 7+4=11.

Ejemplo: Identidad de Pascal[editar]

{\scriptstyle {5\choose 3}}=10, pues hay 10 formas de escoger (en rojo) 3 objetos de un conjunto con 5 elementos.

La identidad de Pascal es un ejemplo clásico de aplicación del principio de la suma. Denotaremos por {n \choose k} el número de formas de escoger k objetos de un conjunto con n elementos.

La identidad de Pascal establece:

Identidad de Pascal. Si n\ge k>0 son enteros positivos, entonces

{n\choose k} = {n-1 \choose k-1}  + {n-1 \choose k}.

Para ilustrar el teorema consideremos un conjunto con n=5 elementos del cual se van a elegir k=3 elementos. Por definición, dicha elección se puede realizar de \scriptstyle {5\choose 3} formas.

El número de formas de escoger 3 elementos es la suma del número de elecciones que incluyen al cuadrado y el número de elecciones que no lo incluyen.

Seleccionemos ahora un elemento particular del conjunto (en el caso de la figura, el cuadrado). Tenemos entonces dos conjuntos de elecciones:

  • Aquellas elecciones de 3 elementos que incluyen al elemento indicado.
  • Aquellas elecciones que no incluyen al elemento indicado.

Ambos conjuntos de elecciones son disjuntos, por lo que el principio de la suma establece que el resultado total será la suma del número de formas de hacer las elecciones de cada tipo.

  • En el primer caso, puesto que ya tenemos un elemento fijo, sólo hace falta escoger 2 elementos entre las 4 opciones restantes. Esto se puede realizar de \scriptstyle {4\choose 2} formas.
  • En el segundo caso tenemos que seleccionar los 3 elementos a partir de las 4 opciones posibles, lo cual se puede hacer de \scriptstyle {4\choose 3} formas.

Concluimos entonces que el número total de elecciones \scriptstyle {5\choose 3} es igual a la suma de esas cantidades:

{5 \choose 3} = {4\choose 2} + {4\choose 3}.

Notas[editar]

  1. Esto es, A_i\cap A_j = \emptyset para cada par i\neq j, condición más fuerte que requerir simplemente \bigcap_k A_k=\emptyset.

Referencias[editar]

  1. Grimaldi, Ralph P. (1997). «Principios fundamentales de conteo». Matemáticas Discreta y Combinatoria: Una introducción con aplicaciones (3a edición). México: Addison Wesley. pp. 3–4. ISBN 9684443242. 
  2. Aigner, Martin (2007). «Elementary Counting Principles». A Course in Enumeration (en inglés). Graduate Texts in Mathematics, vol. 238. Springer. ISBN 3540390324. 
  3. Bóna, Miklós (2007). Introduction to Enumerative Combinatorics (en inglés) (1a edición). McGraw-Hill. ISBN 9780073125619.