Paralelismo (matemática)

Dos rectas paralelas.

Planos paralelos.

En geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demás).

En geometría clásica, las rectas o planos paralelos son los equidistantes entre sí y por más que los prolonguemos no pueden encontrarse.

En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii F está contenido en G ó G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afín) (V = $\mathbb R^2$), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si tienen un mismo vector director.

Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.

Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto.

De manera análoga, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ningún punto.

Rectas paralelas

Notación

$a \parallel b$ (recta a paralela a b)

Axioma de unicidad

El axioma que distingue a la geometría euclídea de otras geometrías es el siguiente:

En un plano, por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una paralela a dicha recta.

Propiedades

• Reflexiva: Toda recta es paralela a sí misma:

a || a

• Simétrica: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera:

Si a || b $\Rightarrow$ b || a

Estas dos propiedades se deducen de la intersección de conjuntos y no dependen del axioma de unicidad.

• Transitiva: Si una recta es paralela a otra, y esta a su vez paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera:

Si a || b $\wedge$ b || c $\Rightarrow$ a || c

Teoremas

• En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.

• Si una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las parelelas de esta (en un plano).

Las demostraciones de estos dos teoremas y de la tercera propiedad usan el axioma de unicidad.

Véase también

• Perpendicularidad
• Quinto postulado de Euclides
• Ángulos entre paralelas

Referencias

• Weisstein, Eric W. "Parallel." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Parallel.html