Número e

La constante matemática e es el único número real que siendo usado como base de una función exponencial hace que la derivada de ésta en cualquier punto coincida con el valor de dicha función en ese punto. Así, la derivada de la función f(x) = e^x es esa misma función. La función e^x es también llamada función exponencial, y su función inversa es el logaritmo natural, también llamado logaritmo en base e o logaritmo neperiano.

El número e es uno de los números más importantes en la matemática,​ junto con el número π, la unidad imaginaria i y el 0 y el 1, por ser los elementos neutros de la adición y la multiplicación, respectivamente. Curiosamente, la identidad de Euler los relaciona (e^iπ+1=0) de manera asombrosa. Además, en virtud de la fórmula de Euler, es posible expresar cualquier número complejo en notación exponencial matemática.

A diferencia de lo que se cree, el número e no se llama número de Euler. Su nombre correcto es la constante de Neper, en honor al matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo al cálculo matemático. La constante e no debe ser confundida con γ, la constante de Euler-Mascheroni, a la que a veces se hace referencia como constante de Euler.

El número e, base de los logaritmos naturales o neperianos, es sin duda el número más importante del campo del cálculo, debido principalmente a que la función e^x coincide con su derivada, y por lo tanto, esta función exponencial suele aparecer en el resultado de ecuaciones diferenciales sencillas. Como consecuencia de esto, describe el comportamiento de acontecimientos físicos regidos por ecuaciones diferenciales sencillas, como pueden ser la velocidad de vaciado de un depósito de agua, el giro de una veleta frente a una ráfaga de viento, el movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil o el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto. Si nos fijamos con atención, en todos estos ejemplos podemos encontrar el número e. De la misma manera, aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos (descarga de un condensador, la amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (crecimiento de células, etc.) , químicos (concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.), y muchos más.

El número e, al igual que el número π, es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido directamente mediante la resolución de una ecuación algebraica. Por lo tanto, es un irracional y su valor exacto no puede ser expresado como un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos.

Su valor aproximado (truncado) es

$e\approx 2,7182818284590452354...$

Historia

Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier.​ No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de ésta. Se asume que la tabla fue escrita por William Oughtred.

El "descubrimiento" de la constante está acreditado a Jacob Bernoulli, quien estudió un problema particular del llamado interés compuesto. Si se invierte una Unidad Monetaria (que abreviaremos en lo sucesivo como UM) con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, diviendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir 1 UM x 1,50$^{2}$ = 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1,25$^{4}$ = 2,4414...En caso de pagos mensuales el monto asciende a 1 UM x $(1+\textstyle {1 \over 12})^{12}$ = 2,61303...UMs. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (que tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un factor de $\textstyle {1 \over n}$, el total de unidades monetarias obtenidas está expresado por la siguiente ecuación:

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{1 \over n}\right)^{n}$

Bernoulli se dio cuenta de que esta expresión se aproxima al valor de 2,7182818...UMs. De aquí proviene la definición que se da de e en finanzas que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% anual compuesto en forma contínua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capital C y una tasa de interés anual R, proporcionará $Ce^{R}$ UM con interés compuesto.

El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de e en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual.

Definición

La definición más común es que es el único número real cuyo logaritmo natural es 1:

$\ln e=1\quad$

lo que es obvio, al ser $e\,\!$ la base de los logaritmos neperianos. Por supuesto, esta definición es válida siempre que previamente se haya definido la función logaritmo natural. La definición habitual según el cálculo integral es:

$\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}$

lo que significa que e se define por la relación:​

$\int _{1}^{e}{\frac {dt}{t}}=1$

Propiedades

Cálculo

La función exponencial f(x) = e^x es importante, en parte debido a que es la única función no trivial que es su propia derivada, y por lo tanto su propia antiderivada también:

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

y

$e^{x}=\int _{-\infty }^{x}e^{t}\,dt$

$=\int _{-\infty }^{0}e^{t}\,dt+\int _{0}^{x}e^{t}\,dt$

$\qquad =1+\int _{0}^{x}e^{t}\,dt$

Además, e es el límite de la sucesión de término general:

$\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable real, pasando del límite de una sucesión al de una función:

$e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$

Como el término de derecha tiene un exponente que varía, lo más práctico es tomar su logaritmo y hacer el cambio de variable $h=1/x$:

$ln((1+h)^{\frac {1}{h}})={\frac {ln(1+h)}{h}}={\frac {\int _{1}^{1+h}{\frac {dx}{x}}}{h}}=$

$={\frac {\int _{0}^{h}{\frac {dx}{1+x}}}{h}}={\frac {\int _{0}^{h}\left(1+O(x)\right)dx}{h}}={\frac {h+O(h^{2})}{h}}=1+O(h)$

Como el logaritmo se aproxima a 1 cuando $h$ tiende a cero por la derecha, la expresión original tiende hacia e.

Desarrollo decimal

El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada:

$e=2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{4+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{6+{\frac {1}{1+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Lo que se escribe e = [2, 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 ... 1,2n,1, ... ], propiedad descubierta por Leonhard Euler, y en fracción continua no normalizada:

$e=2+{\frac {2}{2+{\frac {3}{3+{\frac {4}{5+{\frac {5}{6+{\frac {6}{7+{\frac {7}{8+\cdots }}}}}}}}}}}}$

En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.

Teoría numérica

Véase también: Demostración de que e es irracional

El número real e es irracional, y también trascendental (ver Teorema de Lindemann–Weierstrass). Fue el primer número trascendental que fue probado como tal, sin haber sido construido específicamente para tal propósito (comparar con el número de Liouville). La demostración de esto fue dada por Charles Hermite en 1873. Se cree que e además es un número normal.

Números complejos

El número e presenta en la fórmula de Euler un papel importante relacionado con los números complejos:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,\,\!$

El caso especial con x = π es conocido como identidad de Euler

$e^{i\pi }+1=0.\,\!$

de lo que se deduce que:

$\log _{e}(-1)=i\pi .\,\!$

Además, utilizando las leyes de la exponenciación, se obtiene:

$(\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)$

que es la fórmula de De Moivre.

Función exponencial

Se llama exponencial la función definida sobre los reales por $x\longmapsto e^{x}$

• La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.
• La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, mediante la relación: $e^{\mathrm {i} x}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x$. Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler.

En 1975, el suizo Felix A. Keller descubrió la siguiente fórmula​ que se aproxima a "e":

$e=\lim _{n\to \infty }\quad {\rm {}}{\frac {n^{n}}{(n-1)^{(n-1)}}}-{\frac {(n-1)^{(n-1)}}{(n-2)^{(n-2)}}}\quad {\rm {para}}\quad \left|n\right|>2.$

• Otro límite​ con el que se obtiene el número e es:

$e=\lim _{n\to \infty }(p_{n}\#)^{1/p_{n}}$

donde $p_{n}$ es el enésimo Número primo y $p_{n}\#$ es el primorial del enésimo primo

Representaciones de e

El número e puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una secuencia. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo es el límite:

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},$

como también la serie:

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$

dado para evaluar la serie de potencias superior para e^x en x=1.

$e={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {1}{n!}}+\cdots =\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {1}{k!}}$

Desarrollando la potencia del binomio indicado en la propiedad anterior usando el teorema del binomio de Newton:

$\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{\frac {n}{1}}{\frac {1}{n}}+{\frac {n(n-1)}{1*2}}{\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{1*2*3}}{\frac {1}{n^{3}}}+...+{\frac {1}{n^{n}}}$

$=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1(1-{\frac {1}{n}})}{2!}}+{\frac {1(1-{\frac {1}{n}})(1-{\frac {2}{n}})}{3!}}+...+{\frac {1}{n^{n}}}$

Cuando $n$ tiende a infinito, los productos que están en los numeradores tienden a 1, por lo que cada término de esta expresión tiende a ${\frac {1}{k!}}$, como se quería demostrar.

La serie infinita anterior no es única, e también puede ser representado como:

$e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{2(k!)}}$

$e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{3}}{5(k!)}}$

$e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{4}}{15(k!)}}$

$e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{5}}{52(k!)}}$

$e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{6}}{203(k!)}}$

Existen otras representaciones menos comunes. Por ejemplo, e se puede representar como una fracción simple continua infinita:

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{{\mathbf {2} }+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{{\mathbf {4} }+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}$

Dígitos conocidos

El número de digitos conocidos de e ha aumentado enormemente durante las últimas décadas. Esto es debido al aumento del desempeño de las computadoras como también a la mejora de los algoritmos utilizados.​​

Número de dígitos conocidos de e

Fecha	Dígitos decimales	Cálculo realizado por
1748	18​	Leonhard Euler
1853	137	William Shanks
1871	205	William Shanks
1884	346	J. M. Boorman
1946	808	?
1949	2,010	John von Neumann (en la ENIAC)
1961	100,265	Daniel Shanks y John W. Wrench
1994	10,000,000	Robert Nemiroff y Jerry Bonnell
Mayo de 1997	18,199,978	Patrick Demichel
Agosto de 1997	20,000,000	Birger Seifert
Septiembre de 1997	50,000,817	Patrick Demichel
Febrero de 1999	200,000,579	Sebastian Wedeniwski
Octubre de 1999	869,894,101	Sebastian Wedeniwski
21 de noviembre de 1999	1,250,000,000	Xavier Gourdon
10 de julio de 2000	2,147,483,648	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
16 de julio de 2000	3,221,225,472	Colin Martin y Xavier Gourdon
2 de agosto de 2000	6,442,450,944	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
16 de agosto de 2000	12,884,901,000	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
21 de agosto de 2003	25,100,000,000	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
18 de septiembre de 2003	50,100,000,000	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
27 de abril de 2007	100,000,000,000	Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo

Referencias

• El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.

Véase también

• Demostración de que e es irracional
• Función exponencial
• Lista de constantes matemáticas
• Logaritmo
• Logaritmo de una matriz
• Número irracional
• Número π
• Número trascendente

Enlaces externos

• Un millón de decimales del número e.
• Fórmula para el cálculo de límites de sucesiones del tipo 1 elevado a infinito