Demostración de la irracionalidad de e

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En matemáticas, la identidad como serie del número e

e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}

puede ser usado para probar que e es un número irracional. De las tantas representaciones posibles de e, esta es la serie de Taylor para la función exponencial ey evaluada en y = 1.

Demostración[editar]

Esta es una prueba por contradicción. Inicialmente e es asumido como un número racional de la forma a/b.
e = \frac{a}{b}

Se define el número

\ x = b!\,\biggl(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\biggr).

Notar que x es un entero, se sustituye e = a/b en esta definición para obtener


x = b!\,\biggl(\frac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\biggr)
= a(b - 1)! - \sum_{n = 0}^{b} \frac{b!}{n!}\,.

El primer término es un entero, y cada fracción en la suma es un entero ya que nb para cada término. Por lo tanto, x es un entero.

Ahora probaremos que 0 < x < 1. Primero, insertamos la serie representación de e en la definición de x para obtener

x = \sum_{n = b+1}^{\infty} \frac{b!}{n!}>0\,.

Para todos los términos con nb + 1 tenemos el estimado superior

\frac{b!}{n!}
=\frac1{(b+1)(b+2)\cdots(b+(n-b))}
\le\frac1{(b+1)^{n-b}}\,,

el cual es estricto aún para cada nb + 2. Cambiando el índice de la sumatoria a k = nb y usando la fórmula para la serie geométrica infinita, obtenemos


x 
=\sum_{n = b+1}^{\infty} \frac{b!}{n!}
< \sum_{k=1}^\infty\frac1{(b+1)^k}
=\frac{1}{b+1}\biggl(\frac1{1-\frac1{b+1}}\biggr)
= \frac{1}{b}
\le 1.

Como no hay un entero entre 0 y 1, hemos llegado a una contradicción, y por lo tanto, e debe ser irracional.

Véase también[editar]