Número normal

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En matemáticas, un número normal es un número real cuyas cifras en cualquier base están distribuidas siguiendo una distribución uniforme, siendo todas las cifras igualmente probables, así como todos los pares, tríos, etc. Las cifras de ese número son tanto los de su parte entera como la sucesión infinita de dígitos que hay detrás de la coma o parte fraccionaria.

Definición[editar]

Sea b > 1 un número entero y x un número real. Consideremos la sucesión de cifras de x en la base de numeración b. Si s es una sucesión finita de cifras en base b, escribiremos N(s, n) para expresar el número de apariciones de la sucesión s entre los n primeras cifras de x. El número x se considera normal en base b (b-normal) si

\lim_{n\to\infty} \frac{N(s,n)}{n} = \frac{1}{b^{k}}

para cada sucesión s de longitud k. Expresado en palabras, la probabilidad de encontrar la sucesión s entre las cifras de x es precisamente la esperada si la sucesión de cifras ha sido producida completamente de forma aleatoria. El número x es un número normal (o un número absolutamente normal) si es normal en cualquier base b.

El concepto fue introducido por el matemático francés Émile Borel en 1909. Mediante el lema de Borel-Cantelli, demostró el teorema del número normal: casi todos los números reales son normales, en el sentido en que el conjunto de números no normales tiene una medida de Lebesgue igual a cero. Este teorema establece la existencia de los números normales, pero no es constructivo.

Aunque el conjunto de números no normales es "pequeño" en el sentido de que su medida de Lebesgue 0, también es "grande" por ser un conjunto no numerable. Esto es fácil de demostrar, ya que un número que no contenga una determinada cifra (como puede ser el 5) en su desarrollo decimal (y hay un número incontable de ellos) no puede ser normal.

Ejemplos[editar]

Según la definición, en el sistema binario, las cifras 0 y 1 de un número normal aparecen con frecuencia 12; las sucesiones finitas de dos cifras 00, 01, 10 y 11 aparecen con frecuencia 14; las sucesiones de tres cifras 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 y 111 aparecen con frecuencia 18, etc. Así, el número 0,101010101... no es normal porque, aunque el 0 y el 1 aparecen con la frecuencia esperada, no existen las secuencias 00 y 11 y las secuencias 01 y 10 tienen cada una frecuencia de aparición de 12, el doble de la esperada.

  • Ningún número racional es normal en ninguna base. Esto es así porque su desarrollo decimal es periódico a partir de cierta posición. El ejemplo anterior de 0,101010101..., es un número racional que equivale a 23 en el sistema decimal.
0,1234567891011121314151617...,

que contiene en su desarrollo decimal la concatenación de todos los números naturales ordenados, es normal en base 10, pero podría no serlo en otras bases.

0.235711131719232931374143...,

que contiene la concatenación de los números primos en base 10 también es normal en base 10.

Es extremadamente difícil demostrar la normalidad de números que no han sido construidos de forma explícita. Por ejemplo, no se sabe si √2, π, ln(2) o e son normales, pero, conforme a la experiencia, se conjetura que todos ellos lo son. David H. Bailey y Richard E. Crandall conjeturaron en 2001 que todo número algebraico irracional es normal; aunque no se conoce ningún contraejemplo, tampoco se conoce un solo caso de número algebraico que sea normal en alguna base.

Normalidad del número π[editar]

La siguiente tabla muestra la aparente 10-normalidad de las cifras de \pi:

Secuencia Ocurrencias Secuencia Ocurrencias Secuencia Ocurrencias
0 99 993 942 00 10 004 524 000 1 000 897
1 99 997 334 01 9 998 250 001 1 000 758
2 100 002 410 02 9 999 222 002 1 000 447
3 99 986 911 03 10 000 290 003 1 001 566
4 100 011 958 04 10 000 613 004 1 000 741
5 99 998 885 05 10 002 048 005 1 002 881
6 100 010 387 06 9 995 451 006 999 294
7 99 996 061 07 9 993 703 007 998 919
8 100 001 839 08 10 000 565 008 999 962
9 100 000 273 09 9 999 276 009 999 059
__ __ 10 9 997 289 010 998 884
__ __ 11 9 997 964 011 1 001 188
__ __ ... ... ... ...
__ __ 99 10 003 709 099 999 201
__ __ __ __ ... ...
__ __ __ __ 999 1 000 905
Total 1000 000 000 Total 1000 000 000 Total 1000 000 000

Sin embargo, hasta la fecha (2015) no existe ninguna demostración formal de que efectivamente sea un número normal.