Productorio

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El operador productorio o productoria, también conocido como multiplicatoria o simplemente producto (por denotarse como una letra pi mayúscula), es un operador matemático que representa una multiplicación de una cantidad arbitraria (finita o infinita).


   \prod_{k=m}^n a_k =
   a_m \cdot a_{m+1} \cdot
   \quad \dots \quad
   \cdot a_{n}

Para todos los valores m < n, si m = n tenemos que:


   m = n
   \; , \quad
   \prod_{k=m}^n a_k =
   \prod_{k=m}^m a_k =
   a_{m}

En el caso de que m sea mayor que n, m > n, se le asigna el valor del elemento neutro de la multiplicación, el uno:


   m > n
   \; , \quad
   \prod_{k=m}^n a_k =
   1

Se puede definir por inducción como sigue.

1. Se define


   \prod_{k=1}^1 a_k =
   a_1

2. Supuesta definida para un n ≥ 1 fijo, se define


   \prod_{k=1}^{n+1} a_k =
   \left (
      \prod_{k=1}^n a_k
   \right )
   a_{n+1}

Ejemplo[editar]

Se puede usar el productorio para definir otras igualdades importantes.

Se puede tomar n=1 y aplicar la segunda igualdad para obtener:

 \prod_{k=1}^2 a_k = \left(\prod_{k=1}^1 a_k\right)(a_2) = a_1a_2 .

Definida para n=2, se puede aplicar otra vez la segunda igualdad con n=2 para luego obtener

 \prod_{k=1}^3 a_k = \left(\prod_{k=1}^2 a_k\right)(a_3) = (a_1a_2)a_3 .

Así, usando la propiedad asociativa de la multiplicación, el producto \mathit{(a_1a_2)a_3} \,\! es el mismo que \mathit{a_1(a_2a_3)} \,\! y, por lo tanto, podemos prescindir del uso de paréntesis sin peligro de confusión y usar simplemente

\mathit{a_1a_2a_3} \,\! para  \prod_{k=1}^3 a_k .

Se puede entonces, usar este razonamiento para cualquier  n \in \mathbb{N} sin que haya peligro de confusión.

Luego, se puede aplicar la definición de Multiplicatoria, para definir n! (n factorial) como sigue:

 \prod_{k=1}^n k = n!

Se define 0!=1!=1

Propiedades[editar]

Se puede usar el Método de Inducción Matemática para demostrar algunas propiedades. Para ello, nos basaremos en la definición formal por inducción descrita anteriormente.

Propiedad Multiplicativa[editar]

 \prod_{k=1}^n {({a_k}{b_k})} = \left(\prod_{k=1}^n a_k\right)\left(\prod_{k=1}^n b_k\right)

Demostración por Inducción

i) Tomemos n=1 y veamos si se cumple la igualdad

 \prod_{k=1}^1 {({a_k}{b_k})} = a_1b_1 = \left(\prod_{k=1}^1 a_k\right)\left(\prod_{k=1}^1 b_k\right)

y la igualdad es cierta para n=1

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1

 \prod_{k=1}^{n+1} {({a_k}{b_k})} = \left[\prod_{k=1}^n {({a_k}{b_k})}\right](a_{n+1}b_{n+1})

 \prod_{k=1}^{n+1} {({a_k}{b_k})} = \left(\prod_{k=1}^n a_k\right)\left(\prod_{k=1}^n b_k\right)a_{n+1}b_{n+1}

(Definición por inducción)

 \prod_{k=1}^{n+1} {({a_k}{b_k})} = \left[(\prod_{k=1}^n a_k)(a_{n+1})\right]\left[(\prod_{k=1}^n b_k)(b_{n+1})\right]

(Asociatividad en IR)

Luego,

 \prod_{k=1}^{n+1} {({a_k}{b_k})} = (\prod_{k=1}^{n+1} a_k)(\prod_{k=1}^{n+1} b_k)

Propiedad Telescópica[editar]

 \prod_{k=1}^n {\frac{a_k}{a_{k-1}}} = \frac{a_n}{a_0} si cada  a_k \neq 0

Demostración por Inducción

i) Analicemos para n=1

 \prod_{k=1}^1 {\frac{a_k}{a_{k-1}}} = \frac{a_1}{a_0} con  a_0 \neq 0 y la igualdad es cierta para n=1

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1

 \prod_{k=1}^{n+1} {\frac{a_k}{a_{k-1}}} = (\prod_{k=1}^n {\frac{a_k}{a_{k-1}}})(\frac{a_{n+1}}{a_n}) (Definición por inducción)

Luego,

 \prod_{k=1}^{n+1} {\frac{a_k}{a_{k-1}}} = \frac{a_n}{a_0}\frac{a_{n+1}}{a_n} que es lo que queríamos demostrar.

Nótese que nuestra exigencia era que para cada \mathit{k} \,\!,  a_k \neq 0 . En particular, para \mathit{k=n} \,\!,  a_k  = a_n \neq 0 . Luego la simplificación es posible y

 \prod_{k=1}^{n+1} {\frac{a_k}{a_{k-1}}} = \frac{a_{n+1}}{a_0} .

Véase también[editar]