Cálculo multivariable

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El cálculo multivariable no es más que la extensión del cálculo infinitesimal a funciones escalares y vectoriales de varias variables, con todo lo que esta generalización conlleva. A continuación destacaremos sus principales aspectos.

Campo escalar con dos variables

Cálculo diferencial en campos escalares y vectoriales[editar]

Funciones de Rn en Rm. Campos escalares y vectoriales[editar]

Formularemos las definiciones para campos vectoriales. También serán válidas para campos escalares. Sea

\mathbf{f}:V \longrightarrow W

un campo vectorial que hace corresponder a todo punto P definido biunívocamente por su vector posición un vector \mathbf{f}\big (\mathbf{OP}\big ) donde el punto O es nuestro origen de coordenadas.

V \subseteq \mathbb{R}^n, W \subseteq \mathbb{R}^m, con n > 1 y m \geqslant 1. Cuando m=1 tenemos un campo escalar. Para m>1 tenemos un campo vectorial. Utilizaremos la norma euclídea para hallar la magnitud de los vectores.

Límites y continuidad[editar]

Sean \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n y \mathbf{b} \in \mathbb{R}^m. Escribimos:

\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )=\mathbf{b},
o bien,
\mathbf{f}(\mathbf{x}) \rightarrow \mathbf{b} cuando \mathbf{x} \rightarrow \mathbf{a}
para expresar lo siguiente:
\lim_{\big \|\mathbf{x-a}\big \| \to 0}\big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) - \mathbf{b}\big \| = 0

donde \big \|\mathbf{x}\big \| es la norma euclídea de \mathbf{x}. Expresándolo en función de las componentes de \mathbf{x} = \big (x_1,\ldots,x_n\big ), \mathbf{a} = \big (a_1,\ldots,a_n\big ),

\lim_{\big (x_1,\ldots,x_n\big ) \to \big (a_1,\ldots,a_n\big )}\mathbf{f}\big (x_1,\ldots,x_n\big ) = \mathbf{b}

o, de forma equivalente,

\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b}

Decimos que una función \mathbf{f} es continua en \mathbf{a} \Leftrightarrow \lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{f}\big (\mathbf{a}\big )

\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b}, \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{a}}\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{c} \Rightarrow

a) \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big [\mathbf{f} + \mathbf{g}\big ]\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b} + \mathbf{c}
b) \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \lambda\mathbf{b} \quad\forall\lambda \in \mathbb{R}
c) \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big (\mathbf{f}\cdot\mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}
(producto escalar de \mathbf{b} con \mathbf{c}).
d) \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )\Big \|=\big \|\mathbf{b}\big \|
Demostración
Sabemos que a) y b) en el teorema se verifican si f y g son funciones escalares. Por tanto, si
\mathbf{b} = \big (b_1,\ldots,b_m\big ), \mathbf{c} = \big (c_1,\ldots,c_m\big ) tenemos
 \begin{array}{rl}
a) & \mathbf{f}\big (\mathbf{x}) = \big [f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,f_m\big (\mathbf{x}\big )\big ], 
\mathbf{g}\big (\mathbf{x}) = \Big [g_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,g_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] \\
 & \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big (\mathbf{f} + \mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big ) =
\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\Big [\big (f_1+g_1\big )\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\big (f_m+g_m\big )\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \\
 & \Big [\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big (f_1+g_1\big )\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big (f_m+g_m\big )\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \\
 & \Big [\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_1\big (\mathbf{x}\big )+ \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}g_1(\mathbf{x}\big ),\ldots,\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_m\big (\mathbf{x}\big ) + \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}g_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \\
 & \big (b_1+c_1,\ldots,b_m+c_m\big ) = \big (b_1,\ldots,b_m\big )+\big (c_1,\ldots,c_m\big ) = \mathbf{b}+\mathbf{c}
\end{array}
 \begin{array}{rl}
b) & \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = 
\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda\Big [f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,f_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = 
\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\Big [\lambda f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\lambda f_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \\
 & \Big [\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda f_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \Big [\lambda\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\lambda\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \\ 
 & \lambda\Big [\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] =  \lambda\big (b_1,\ldots,b_m\big ) = \lambda\mathbf{b}
\end{array}

c) \quad \big (\mathbf{f}\cdot\mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{b}\cdot\mathbf{c} = 
\Big [\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{b}\Big ]\cdot\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big ]+ 
\mathbf{b}\cdot\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big ]+\mathbf{c}\cdot\Big [\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) -\mathbf{b}\Big ]
Aplicando la desigualdad triangular y la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos
\begin{array}{l}
\Big |\big (\mathbf{f} \cdot \mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big ) - \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}\Big | \leqslant 
\Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{b}\Big \| \cdot \Big \|\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big \|+ 
\big \|\mathbf{b}\big \| \cdot \Big \|\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big \|+ 
\big \|\mathbf{c}\big \| \cdot \Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) - \mathbf{b}\Big \| \Rightarrow \\
0 \leqslant \lim_{\big \|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \| \to 0}\Big |\big (\mathbf{f}\cdot\mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big )-  
\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}\Big | \leqslant \lim_{\big \|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \| \to 0}\Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )- \mathbf{b}\Big \| \cdot \lim_{\big \|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \| \to 0}\Big \|\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big \|+ \\
\big \|\mathbf{b}\big \| \cdot \lim_{\big \|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \| \to 0}\Big \|\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big \|+ 
\big \|\mathbf{c}\big \|\lim_{\big \|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \| \to 0}\Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{b}\Big \| = 
0 \cdot 0 + \big \|\mathbf{b}\big \| \cdot 0+ \big\|\mathbf{c}\big \| \cdot 0 = \\
0
\end{array}
, como queríamos demostrar.
d) \quad \mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ), \mathbf{c} = \mathbf{b} \Rightarrow 
\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )\Big \|^2=\big \|\mathbf{b}\big \|^2, como queríamos demostrar.

Sean \mathbf{f} y \mathbf{g} dos funciones tales que la función compuesta \mathbf{f}\circ\mathbf{g} está definida en \mathbf{a}, siendo

\big (\mathbf{f}\circ\mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{f}\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )\Big ]
\mathbf{g} es continua en \mathbf{a} y \mathbf{f} es continua en \mathbf{g}\big (\mathbf{a}\big ) \Rightarrow \big (\mathbf{f}\circ\mathbf{g}\big ) es continua en \mathbf{a}.
Demostración
Sean \mathbf{y} = \mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big ) y \mathbf{b} = \mathbf{g}\big (\mathbf{a}\big ). Entonces,
\begin{array}{l}
\lim_{\big \|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \| \to 0}\Big \|\mathbf{f}\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )\Big ]-\mathbf{f}\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{a}\big )\Big ]\Big \| = \lim_{\big \|\mathbf{y}-\mathbf{b}\big \| \to 0}\Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{y}\big )-\mathbf{f}\big (\mathbf{b}\big )\Big \|=0 \Rightarrow \\
\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\mathbf{f}\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )\Big ]=\mathbf{f}\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{a}\big )\Big ]
\end{array}
como queríamos demostrar.

Derivadas direccionales[editar]

Derivada de un campo escalar respecto a un vector[editar]

Derivada vectorial2.PNG

Sea f:S \subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}. Sea \mathbf{x} un vector cuyo origen es el origen de coordenadas y cuyo extremo \in S, e \mathbf{y} un vector arbitrario de \mathbb{R}^n. Definimos la derivada de f en \mathbf{x} respecto a \mathbf{y} como

f'\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) = \lim_{h \to 0}\cfrac{f\big (\mathbf{x}+h\mathbf{y}\big )-f\big (\mathbf{x}\big )}{h}

Derivadas parciales[editar]

\cfrac{\partial f}{\partial x_k} = \lim_{h \to 0}\cfrac{f\big (x_1,\ldots,x_k+h,\ldots,x_n\big )-f\big (x_1,\ldots,x_k,\ldots,x_n\big )}{h}

Si derivamos la expresión anterior respecto a una segunda variable, x_j, tendremos \cfrac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k}. En la práctica, calcularemos \cfrac{\partial f}{\partial x_k} derivando respecto a x_k y suponiendo x_j, \quad \forall j \ne k constante.

La diferencial[editar]

Definición de campo escalar diferenciable[editar]

Decimos que f es diferenciable en \mathbf{a} \Leftrightarrow

\exists f_L:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}\Big |\lim_{\big \|\mathbf{v}\big \| \to \mathbf{0}}f\big (\mathbf{a}+\mathbf{v}\big ) = f\big (\mathbf{a}\big )+f_L\big (\mathbf{v}\big ).
f_L ha de ser una aplicación lineal, que definimos como la diferencial de f en a.
La anterior ecuación es la fórmula de Taylor de primer orden para f\big (\mathbf{a}+\mathbf{v}\big ).

Teorema de unicidad de la diferencial[editar]

f es diferenciable en \mathbf{x} con diferencial f_L\big (\mathbf{y}\big ) \Rightarrow

a) \exists f'\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) \quad \forall\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n
b) f'\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) = \sum_{k=1}^n y_k \cfrac{\partial f}{\partial x_k}
Demostración
\begin{array}{rl}
a) & \mathbf{v} = h\mathbf{y}, \quad h \in \mathbb{R}, \\
   & \lim_{\big \|\mathbf{v}\big \| \to \mathbf{0}}f\big (\mathbf{x}+\mathbf{v}\big ) = \lim_{\big \|\mathbf{v}\big \| \to \mathbf{0}}f\big (\mathbf{x}+h\mathbf{y}\big ) = f\big (\mathbf{x}\big )+f_L\big (h\mathbf{y}\big ) = \\
   & f\big (\mathbf{x}\big )+ hf_L\big (\mathbf{y}\big ) \Rightarrow \\
   & \lim_{h \to 0}\cfrac{f\big (\mathbf{x}+h\mathbf{y}\big )-f\big (\mathbf{x}\big )}{h} = f'\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) = f_L\big (\mathbf{y}\big )
\end{array}
como queríamos demostrar.
b)  Expresando y en función de sus componentes en la base
\begin{array}{l}
\big \{\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n\big \}, f_L\big (\mathbf{y}\big ) = f_L\big (\sum_{k=1}^n y_k\mathbf{e}_k\big ) = 
\sum_{k=1}^n y_k f_L\big (\mathbf{e}_k\big ) = \sum_{k=1}^n y_k f'\big (\mathbf{x};\mathbf{e}_k\big ) = \\
\sum_{k=1}^n y_k \cfrac{\partial f}{\partial x_k}
\end{array}
como queríamos demostrar.

Regla de la cadena[editar]

Sea f:S \subset \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} un campo escalar y \mathbf{x}:J \in \mathbb{R} \longrightarrow S. Definimos la función compuesta g = f \circ \mathbf{x} como g(t) = f\Big [\mathbf{x}\big (t\big )\Big ], entonces \quad g'\big (t\big ) = \sum_{k=1}^n \cfrac{\partial f}{\partial x_k}\cdot\cfrac{dx_k}{dt}

Diferencial de un campo vectorial[editar]

Sea \mathbf{f}:S \subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m un campo vectorial. Sea \mathbf{x} \in S e \mathbf{y} un vector cualquiera. Definimos la derivada

\mathbf{f'}\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) = \lim_{h \to 0}\cfrac{\mathbf{f}\big (\mathbf{x}+h\mathbf{y}\big )-\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )}{h}

Expresando \mathbf{f'}\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) en función de sus componentes, tenemos \mathbf{f'}\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) = \Big [f'_1\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ),\ldots,f'_m\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big )\Big ]

Decimos que \mathbf{f} es diferenciable \Leftrightarrow  \exists \mathbf{f}_L:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m, aplicación lineal que verifica:

\lim_{\big \|\mathbf{v}\big \|\to 0}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}+\mathbf{v}\big ) = \mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )+\mathbf{f}_L\big (\mathbf{v}\big ).
Esta es la fórmula de Taylor de primer orden para \mathbf{f}.\quad \mathbf{f}_L\big (\mathbf{v}\big )=\mathbf{f}'\big( \mathbf{x};\mathbf{v}\big ).

La matriz de \mathbf{f}' es su matriz jacobiana.

Diferenciabilidad implica continuidad[editar]

Si un campo vectorial \mathbf{f} es diferenciable en \mathbf{x} \Rightarrow es continuo en \mathbf{x}.

Se deduce fácilmente de la fórmula de Taylor de primer orden ya vista.

Regla de la cadena para diferenciales de campos vectoriales[editar]

Sea \mathbf{h}\big (\mathbf{x}\big )=\big (\mathbf{f} \circ \mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big ) un campo vectorial definido y diferenciable en \mathbf{x}. Su diferencial \mathbf{h}'\big (\mathbf{x}\big ) resulta ser

\mathbf{h}'\big (\mathbf{x}\big )=\mathbf{f}'\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )\Big ]\circ\mathbf{g}'\big (\mathbf{x}\big )

Condición suficiente para la igualdad de las derivadas parciales mixtas[editar]

\cfrac{\partial^2 f} {\partial x_i \partial x_j}=\cfrac{\partial^2 f} {\partial x_j \partial x_i} \quad \forall i \ne j \Leftrightarrow ambas derivadas parciales existen y son continuas en \mathbf{x}.

Aplicaciones del cálculo diferencial[editar]

Cálculo de máximos, mínimos y puntos de ensilladura para campos escalares[editar]

Un campo escalar tiene un máximo en \mathbf{x} = \mathbf{a} \Leftrightarrow existe una n-bola B\big (\mathbf{a}\big )\Big |\forall\mathbf{x} \in B\big (\mathbf{a}\big ) \quad f\big (\mathbf{x}\big ) \leqslant f\big (\mathbf{a}\big )

Un campo escalar tiene un mínimo en \mathbf{x} = \mathbf{a} \Leftrightarrow existe una n-bola B\big (\mathbf{a}\big )\Big |\forall\mathbf{x} \in B\big (\mathbf{a}\big ) \quad f\big (\mathbf{x}\big ) \geqslant f\big (\mathbf{a}\big )

Un campo escalar tiene un punto de ensilladura \Leftrightarrow

\forall B\big(\mathbf{a}\big ) \quad \exists \mathbf{x}\big |f\big (\mathbf{x}\big ) \leqslant f\big (\mathbf{a}\big ) \land \exists \mathbf{x}\big |f\big (\mathbf{x}\big ) \geqslant f\big (\mathbf{a}\big ).
Función con un punto de ensilladura

Para saber si es uno de los casos anteriores:

  1. Obtenemos \mathbf{x}\Big |\cfrac{\partial f}{\partial x_k}=0 \qquad \forall k\Big |1\leqslant k\leqslant n
  2. Obtenemos la matriz hessiana de f. Sea esta \mathbf{F}\big (\mathbf{x}\big ).
    1. \mathbf{F}\big (\mathbf{x}\big ) es definida positiva \Rightarrow f tiene un mínimo local (mínimo relativo) en \mathbf{x}.
    2. \mathbf{F}\big (\mathbf{x}\big ) es definida negativa \Rightarrow f tiene un máximo local (máximo relativo) en \mathbf{x}.
    3. \mathbf{F}\big (\mathbf{x}\big ) es indefinida \Rightarrow f tiene un punto de ensilladura en \mathbf{x}.

En lo anteriormente expuesto, hemos supuesto que \cfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} es continua \forall i,j\big |1\leqslant i\leqslant n, 1\leqslant j\leqslant n

Véase también[editar]

Referencias[editar]