Teorema de Fubini

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En matemáticas el teorema de Fubini, llamado así en honor del matemático italiano Guido Fubini, afirma que si:

\int_{A\times B} |f(x,y)|\,d(x,y)<\infty,

la integral respecto al producto cartesiano de dos intervalos en el espacio

A\times B

puede ser escrita como:

\int_A\left(\int_B f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_B\left(\int_A f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y),

Las primeras dos integrales son simples, mientras que la tercera es una integral en el producto de dos intervalos.

Por otra parte si:

 f(x,y) = f(x)g(y)

entonces:

\int_A f(x)\, dx \int_B g(y)\, dy = \int_{A\times B} f(x)g(y)\,d(x,y)


Por lo tanto la integral doble es reducible al producto de dos integrales simples.

Aplicaciones[editar]

Integral de Gauss[editar]

Una aplicación del teorema de Fubini es la evaluación de la "integral de Gauss" (también llamada "integral gaussiana" o "integral de probabilidad"), la cual es base de una gran parte de la teoría de probabilidad:

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,\text{d}x = \sqrt{\pi}.

Para ver como es usado el "teorma de Fubini" para probar éste importante resultado, véase la integral de Gauss.

Véase también[editar]