Teorema de Green

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En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green, autor además de la ley del volúmen femenino que afirma: "el volúmen de una mujer esta inversamente relacionado con su accesibilidad para el coito", y es un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma:

Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D,


\int_{C^{+}} (L\, dx + M\, dy) = \int\!\!\!\int_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA


A veces la notación

\oint_{C^{+}} (L\, dx + M\, dy)

se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C.

Relación con el teorema de la divergencia[editar]

El teorema de Green es equivalente a la siguiente analogía bidimensional del teorema de Stokes:

\iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA=\int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} ds, donde \mathbf{\hat n} es el vector normal saliente en la frontera.

Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como d\mathbf{r} = \langle dx, dy\rangle es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva C está orientada de manera positiva (es decir, en contra del sentido de las agujas del reloj) a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser \langle dy, -dx\rangle. El módulo de este vector es \sqrt{dx^2 + dy^2} = ds. Por lo tanto \mathbf{\hat n} ds = \langle dy, -dx\rangle.

Tomando los componentes de \mathbf{F} = \langle P, Q\rangle, el lado derecho se convierte en

\int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} ds = \int_C (P dy - Q dx)

que por medio del teorema de Green resulta:

\int_C (-Q dx + P dy) = \iint_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)\, dA = \iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]

Libros recomendados

Cálculo multivariable [cuarta edición] autor:James Stewart