Teorema de Green

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En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green, y resulta ser un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma:

Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D,


\int_{C^{+}} (P\, dx + Q\, dy) = \int\!\!\!\int_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dA


A veces la notación

\oint_{C^{+}} (P\, dx + Q\, dy)

se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C.


Relación con el teorema de Stokes[editar]

El teorema de Green es un caso especial del clásico teorema de Kelvin-Stokes cuando es aplicado a una región en el plano-xy.

Podemos aumentar el campo vectorial de dos dimensiones a uno de tres dimensiones donde la componente z es constantemente 0. Escribiremos F como una función vectorial \mathbf{F}=(P,Q,0). Empezaremos con el lado izquierdo del teorema de Green:

\oint_{C} (P\, dx + Q\, dy) = \oint_{C} (P, Q, 0) \cdot (dx, dy, dz) = \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}.

Aplicando el teorema de Kelvin-Stokes:

\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS.

La superficie S es simplemente la región en el plano D, con el vector normal unitario \mathbf{\hat n} apuntando (en la dirección positiva de z) de tal manera que coincida con las definiciones de "orientación positiva" para ambos teoremas (Green y Stokes). Se verifica \mathbf{\hat n} = \mathbf{k}.

La expresión dentro de la integral queda

\nabla \ \times \ \mathbf{F} \ \cdot \ \mathbf{\hat n} = \left[ \left(\frac{\partial 0}{\partial y}  - \frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathbf{k} \right] \cdot \mathbf{k} = \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right).

De esta manera obtenemos el lado derecho del teorema de Green

\iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \, dA.

Relación con el teorema de la divergencia[editar]

El teorema de Green es equivalente a la siguiente analogía bidimensional del teorema de Stokes:

\iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA=\int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \mbox{ } ds, donde \mathbf{\hat n} es el vector normal saliente en la frontera.

Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como d\mathbf{r} = (dx, dy) es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva C está orientada de manera positiva (es decir, en contra del sentido de las agujas del reloj) a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser (dy, -dx). El módulo de este vector es \sqrt{dx^2 + dy^2} = ds. Por lo tanto \mathbf{\hat n} \mbox{ } ds = (dy, -dx).

Tomando los componentes de \mathbf{F} = (Q, -P), el lado derecho se convierte en

\int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \mbox{ } ds \mbox{ } = \int_C (Q,-P) \cdot (dy,-dx) = \int_C (Q \mbox{ } dy + P \mbox{ } dx)

que por medio del teorema de Green resulta:

\int_C (P \mbox{ } dx \mbox{ } + \mbox{ } Q \mbox{ } dy)  = \iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA = \iint_D\left(\nabla\cdot (Q,-P) \right)dA = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dA

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]

Libros recomendados

Cálculo multivariable [cuarta edición] autor:James Stewart