Derivada direccional

En el análisis matemático, la derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio (pendiente) de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes.

Funciones escalares reales

La derivada direccional de una función $f(\vec{x}) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ sobre un vector unitario $\vec{v} = (v_1,v_2, \ldots, v_n)$ es la función definida por este límite:

$D_{\vec{v}}{f} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\vec{x} + h\vec{v}) - f(\vec{x})}{h}}.$

Si la función es diferenciable, puede ser escrita en término de su gradiente $\nabla f$

$D_{\vec{v}}{f} = \nabla f \cdot \vec{v}$

donde "$\cdot$" denota el producto escalar o producto punto entre vectores.

Demostración

El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio tridimensional. Supongase que se tiene una función diferenciable $z = f(x,y)\;$. La derivada direcciónal según la dirección de un vector unitario $\mathbf{v} = (v_x,v_y)$ sería:

$D_\mathbf{v}f = \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x+v_xh,y+v_yh)-f(x,y)}{h}$

$D_\mathbf{v}f = \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x+v_xh,y+v_yh)-f(x,y+v_yh)+f(x,y+v_yh)-f(x,y)}{h}$

$D_\mathbf{v}f = \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x+v_xh,y+v_yh)-f(x,y+v_yh)}{h} + \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x,y+v_yh)-f(x,y)}{h}$

El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio $h' = v_xh\;$ lo cual lleva, por ser diferenciable la función f, a:

$\lim_{h'\to 0} \cfrac{f(x+h',y+v_yh'/v_x)-f(x,y+v_yh'/v_x)}{h'/v_x} = \lim_{h'\to 0} v_x\frac{\part f(x,y+v_yh'/v_x)}{\part x} = v_x\frac{\part f(x,y)}{\part x}$

Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:

$D_\mathbf{v}f = v_x\frac{\part f(x,y)}{\part x} + v_y\frac{\part f(x,y)}{\part y}$

Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente por el vector $\mathbf{v} = (v_x,v_y)$:

$(\nabla f)\cdot\mathbf{v} = \left(\frac{\part f(x,y)}{\part x}, \frac{\part f(x,y)}{\part y} \right) \cdot (v_x,v_y) = \frac{\part f(x,y)}{\part x}v_x + \frac{\part f(x,y)}{\part y}v_y = D_\mathbf{v}f$

Campos vectoriales

El concepto de derivada direccional no se puede generalizar a funciones de $\mathbb{R}^m$ en $\mathbb{R}^n$, del tipo:

$\mathbf{F}:A\subset\mathbb{R}^m \longrightarrow \subset\mathbb{R}^n$

En este caso la derivada direccional de modo idéntico a como se hacía con funciones de una variable:

$D_\mathbf{v}\mathbf{F} = \lim_{h\to 0} \frac{\mathbf{F}(\mathbf{x}+h\mathbf{v})-\mathbf{F}(\mathbf{x})}{h}$

Una diferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la existencia de derivadas direccionales según todas las direcciones no implica necesariamente que una función sea diferenciable. Si la función es diferenciable resulta que la aplicación:

$\mathbf{v} \longmapsto D_\mathbf{v}\mathbf{F}$

Es lineal y se cumple además es expresable en términos del jacobiano:

$D_\mathbf{v}\mathbf{F} = (D\mathbf{F})\mathbf{v}$

Funcionales

La derivada funcional, definida como derivada de Gâteaux, es de hecho una derivada direccional definida en general sobre un espacio vectorial de funciones.

Referencias

• Bombal, R. Marín & Vera: Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.

Véase también

• Gradiente
• Derivada
• Derivada parcial