Derivada direccional

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

En el análisis matemático, la derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes.

Definición[editar]

Un diagrama de curvas de nivel de la ecuación f(x, y)=x^2 + y^2, mostrando el vector gradiente en azul, y el vector unitario \vec{u} escalado por la derivada direccional en la dirección de \vec{u} en anaranjado. El vector gradiente es más largo porque apunta en la dirección de la mayor tasa de incremento de una función.

Definición general[editar]

La derivada direccional de una función escalar:

f(\bold{x})=f(x_1, x_2, \ldots, x_n)

en la dirección del vector:

\vec{v} = (v_1,v_2, \ldots, v_n)

es la función definida por el límite:

D_{\vec{v}}{f} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\vec{x} + h\vec{v}) - f(\vec{x})}{h}}.

Si la función es diferenciable, puede ser escrita en término de su gradiente \nabla f

D_{\vec{v}}{f} = \nabla f \cdot \vec{v}

donde "\cdot" denota el producto escalar o producto punto entre vectores. En cualquier punto \bold{x}, la derivada direccional de f representa intuitivamente la tasa de cambio de f con respecto al tiempo cuando se está moviendo a una velocidad y dirección dada por \vec{v} en dicho punto.

Definición solo en la dirección de un vector[editar]

Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al vector \vec{v} después de la normalización, ignorando así su magnitud. En este caso:

D_{\vec{v}}{f} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\bold{x} + h\bold{v}) - f(\bold{x})}{h|\bold{v}|}},

Si la función es diferenciable, entonces

D_{\vec{v}}{f} = \nabla f(\bold{x}) \cdot \frac{\bold{v}}{|\bold{v}|}

Esta definición tiene algunas desventajas: su aplicabilidad está limitada a un vector de norma definida y no nula. Además es incompatible con la notación empleada en otras ramas de la matemática, física e ingeniería por lo que debe utilizarse cuando lo que se quiere es la tasa de incremento de f por unidad de distancia.

Restricción al vector unitario[editar]

Algunos autores restringen la definición de la derivada direccional con respecto a un vector unitario. Con esta restricción, las dos definiciones anteriores se convierten en una misma.

Demostración[editar]

El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio tridimensional. Supóngase que existe una función diferenciable z = f(x,y)\;. La derivada direccional según la dirección de un vector unitario \mathbf{v} = (v_x,v_y) es:


\begin{align}
D_\vec{v}f
  &= \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x+v_xh,y+v_yh)-f(x,y)}{h}\\
  &= \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x+v_xh,y+v_yh)-f(x,y+v_yh)+f(x,y+v_yh)-f(x,y)}{h}\\
  &= \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x+v_xh,y+v_yh)-f(x,y+v_yh)}{h} + 
      \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x,y+v_yh)-f(x,y)}{h}
\end{align}


El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio h' = v_xh\; lo cual lleva, por ser diferenciable la función[1] f, a:

\lim_{h'\to 0} \cfrac{f(x+h',y+v_yh'/v_x)-f(x,y+v_yh'/v_x)}{h'/v_x} = 
\lim_{h'\to 0} v_x\frac{\part f(x,y+v_yh'/v_x)}{\part x} =
v_x\frac{\part f(x,y)}{\part x}

Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:

D_\vec{v}f = v_x\frac{\part f(x,y)}{\part x} + v_y\frac{\part f(x,y)}{\part y}

Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente por el vector \mathbf{v} = (v_x,v_y):

(\nabla f)\cdot\vec{v} = \left(\frac{\part f(x,y)}{\part x}, \frac{\part f(x,y)}{\part y} \right) \cdot (v_x,v_y) = \frac{\part f(x,y)}{\part x}v_x + \frac{\part f(x,y)}{\part y}v_y =
D_\mathbf{v}f

Notaciones alternas[editar]

La derivada direccional puede ser denotada mediante los símbolos:

\nabla_{\bold{v}}{f}(\bold{x}) \sim \frac{\partial{f(\bold{x})}}{\partial{v}} \sim f'_\mathbf{v}(\bold{x}) \sim D_\bold{v}f(\bold{x}) \sim \mathbf{v}\cdot{\nabla f(\bold{x})} \sim \bold{v}\cdot \frac{\partial f(\bold{x})}{\partial\bold{x}}

donde \bold{v} es la parametrización de una curva para la cual \bold{v} es tangente y la cual determina su magnitud.

Propiedades[editar]

Muchas de las propiedades conocidas de las derivadas se mantienen en las derivadas direccionales. Estas incluyen, para cualquier pareja de funciones f y g definidas en la vecindad de un punto \bold{p}, donde son diferenciables:

  • Regla de la suma:
D_{\vec{v}} (f + g) = D_{\vec{v}} f + D_{\vec{v}} g
  • Regla del factor constante:
D_{\vec{v}} (cf) = cD_{\vec{v}} f

donde c es cualquier constante.

D_{\vec{v}} (fg) = g D_{\vec{v}} f + fD_{\vec{v}} g
D_{\vec{v}}(h\circ g)(\bold{p}) = h'(g(\bold{p})) D_{\vec{v}} g (\bold{p})

Campos vectoriales[editar]

El concepto de derivada direccional no se puede generalizar a funciones de \mathbb{R}^m en \mathbb{R}^n, del tipo:

\mathbf{F}:A\subset\mathbb{R}^m \longrightarrow \subset\mathbb{R}^n

En este caso la derivada direccional de modo idéntico a como se hacía con funciones de una variable:

D_\mathbf{v}\mathbf{F} = \lim_{h\to 0}
\frac{\mathbf{F}(\mathbf{x}+h\mathbf{v})-\mathbf{F}(\mathbf{x})}{h}

Una diferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la existencia de derivadas direccionales según todas las direcciones no implica necesariamente que una función sea diferenciable. Si la función es diferenciable resulta que la aplicación:

\mathbf{v} \longmapsto D_\mathbf{v}\mathbf{F}

Es lineal y se cumple además es expresable en términos del jacobiano:

D_\mathbf{v}\mathbf{F} = (D\mathbf{F})\mathbf{v}

Funcionales[editar]

La derivada funcional, definida como derivada de Gâteaux, es de hecho una derivada direccional definida en general sobre un espacio vectorial de funciones.

Referencias[editar]

  1. Si la función no es diferenciable entonces las derivadas parciales no son continuas y esta demostración no es válida, Bombal, R. Marín, Vera, p. 4
  • Bombal, R. Marín & Vera: Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.

Véase también[editar]