Heptadecágono

Heptadecágono
Un heptadecágono regular
Características
Tipo	Polígono regular
Lados	17
Vértices	17
Grupo de simetría	$D_{17}$, orden 2x17
Símbolo de Schläfli	{17} (heptadecágono regular)
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Polígono dual	Autodual
Área	$A={\frac {17}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{17}}$ (lado $a$)
Ángulo interior	158+14/17° ≈ 158,235294118
Propiedades
Convexo, isogonal, cíclico

Un heptadecágono regular y sus ángulos principales

En geometría, un heptadecágono es un polígono de 17 lados y 17 vértices.

Propiedades

Un heptadecágono tiene 119 diagonales, resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para deteminar el número de diagonales de un polígono, $D=n(n-3)/2$; siendo el número de lados $n=17$, tenemos:

$D={\frac {17(17-3)}{2}}=119$

La suma de todos los ángulos internos de cualquier heptadecágono es 2700 grados o $15\pi$ radianes.

Heptadecágono regular

Un heptadecágono regular es el que tiene todos sus lados de la misma longitud y todos sus ángulos internos iguales. Cada ángulo interno del heptadecágono regular mide aproximadamente 158,82º o exactamente $15\pi /17$ rad. Cada ángulo externo del heptadecágono regular mide aproximadamente 21,18º o exactamente $2\pi /17$ rad.

Para obtener el perímetro P de un heptadecágono regular, multiplíquese la longitud t de uno de sus lados por diecisiete (el número de lados n del polígono).

$P=n\cdot t=17\ t$

Dada la longitud t de uno de sus lados, el área A de un heptadecágono regular es:

$A={\frac {17(t^{2})}{4\tan({\frac {\pi }{17}})}}\simeq 22,7355\ t^{2}$

donde $\pi$ es la constante pi y $\tan$ es la función tangente calculada en radianes.

Si se conoce la longitud de la apotema a del polígono, otra alternativa para calcular el área es:

$A={\frac {P\cdot a}{2}}={\frac {17(t)\ a}{2}}$

Aspecto algebraico

La ecuación x¹⁷ = 1, contiene las 17 raíces décimoséptimas de la unidad. Fuera de 1, las demás raíces son complejas y raíces primitivas. En un círculo unitario del plano complejo estas raíces están en los vértices de un heptadecágono.

Nota histórica

Como anhelo, Gauss quería grabar en su lápida un polígono regular de 17 lados, sin embargo el artesano encargado se negó debido a la complejidad de su confección y que además no se diferenciaría de un círculo. Cabe destacar que Gauss demostró que el polígono regular de 17 lados es construible con regla y compás, ahí su anhelo.

Construcción

Como 17 es un Número de Fermat, el heptadecágono regular es un polígono construible (es decir, uno que se puede construir usando un compass and unmarked straightedge): esto fue demostrado por Carl Friedrich Gauss en 1796 a la edad de 19. ​ Esta prueba representó el primer progreso en la construcción de un polígono regular en más de 2000 años. ​ La demostración de Gauss se basa en primer lugar en el hecho de que la constructibilidad es equivalente a la expresibilidad de los función trigonométrica del ángulo común en términos de operaciones aritmética y extracciones raíz cuadrada, y en segundo lugar en su demostración de que esto se puede hacer si los factores primos impares de $N$, el número de lados del polígono regular, son primos de Fermat distintos, que son de la forma $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ para algún entero no negativo $n$. Por tanto, construir un heptadecágono regular implica hallar el coseno de $2\pi /17$ en términos de raíces cuadradas, lo que implica una ecuación de grado 17, un primo de Fermat. El libro de Gauss Disquisitiones arithmeticae da esto como (en notación moderna): ​

${\begin{aligned}16\,\cos {\frac {2\pi }{17}}=&-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+\\&2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\\=&-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+\\&2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}}.\end{aligned}}$

Euclides había dado construcciones para regular triangle, pentágono, pentadecágono y polígonos con 2 ^h veces más lados, pero las construcciones basadas en los números primos de Fermat distintos de 3 y 5 eran desconocidas para los antiguos. (Los únicos números primos de Fermat conocidos son F_n para n = 0, 1, 2, 3, 4. Son 3, 5, 17, 257 y 65537.)

La construcción explícita de un heptadecágono fue dada por Herbert William Richmond en 1893. El siguiente método de construcción usa Carlyle circle, como se muestra a continuación. Basado en la construcción del 17-gon regular, uno puede fácilmente construir n - gons siendo n el producto de 17 con 3 o 5 (o ambos) y cualquier potencia de 2: un 51 regular -gon, 85-gon o 255-gon y cualquier n regular - gon con 2 ^h veces más lados.

Construction according to Duane W. DeTemple with Carlyle circles,​ animation 1 min 57 s

Otra construcción del heptadecágono regular con regla y compás es la siguiente:

T. P. Stowell de Rochester, N. Y., respondió a la Consulta de W.E. Heal, Wheeling, Indiana en The Analyst en el año 1874: ​

"Para construir un polígono regular de diecisiete lados en un círculo. Dibuje el radio CO en ángulo recto con el diámetro AB: En OC y OB, tome OQ igual a la mitad, y OD igual a la octava parte del radio: Haga que DE y DF sean cada uno igual a DQ y EG y FH respectivamente igual a EQ y FQ; tome OK una media proporcional entre OH y OQ, ya través de K, dibuje KM paralelo a AB, encontrando el semicírculo descrito en OG en M; dibuje MN paralelo a OC, cortando el círculo dado en N; el arco AN es la decimoséptima parte de toda la circunferencia ".

Construction according to
"sent by T. P. Stowell, credited to Leybourn's Math. Repository, 1818".
Added: "take OK a mean proportional between OH and OQ"

Construction according to
"sent by T. P. Stowell, credited to Leybourn's Math. Repository, 1818".
Added: "take OK a mean proportional between OH and OQ", animation

El siguiente diseño simple proviene de Herbert William Richmond del año 1893: ​

"DEJE OA, OB (fig. 6) ser dos radios perpendiculares de un círculo. Haga OI un cuarto de OB, y el ángulo OIE un cuarto de OIA; también encuentre en OA produjo un punto F tal que EIF es 45 °. Deje que el círculo en AF como diámetro corte OB en K, y deje que el círculo cuyo centro es E y radio EK corte OA en N₃ y N₅; entonces si las ordenadas N₃P₃, N₅P₅ se dibujan en el círculo, los arcos AP₃ , AP₅ será 3/17 y 5/17 de la circunferencia. "

• El punto N₃ está muy cerca del punto central de Teorema de Tales sobre AF.

Construction according to H. W. Richmond

Construction according to H. W. Richmond as animation

La siguiente construcción es una variación de la construcción de H. W. Richmond.

Las diferencias con el original:

• El círculo k₂ determina el punto H en lugar de la bisectriz w₃.
• El círculo k₄ alrededor del punto G '(reflejo del punto G en m) produce el punto N, que ya no está tan cerca de M, para la construcción de la tangente.
• Algunos nombres han sido cambiados.

Heptadecagon in principle according to H.W. Richmond, a variation of the design regarding to point N

Otra construcción más reciente la da Callagy. ​

Simetría

Symmetries of a regular heptadecagon. Vertices are colored by their symmetry positions. Blue mirror lines are drawn through vertices and edges. Gyration orders are given in the center.

El "heptadecágono regular" tiene Dih₁₇ symmetry, orden 34. Dado que 17 es un número primo, hay un subgrupo con simetría diédrica: Dih₁, y 2 simetrías grupo cíclico: Z₁₇ y Z₁.

Estas 4 simetrías se pueden ver en 4 simetrías distintas en el heptadecágono. John Conway los etiqueta por letra y orden de grupo. ​ La simetría completa de la forma regular es r34 y ninguna simetría está etiquetada como 'a1' . Las simetrías diedras se dividen dependiendo de si pasan a través de vértices ( 'd' para diagonal) o aristas ( 'p' para perpendiculares), y 'i' cuando las líneas de reflexión atraviesan ambos bordes y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna central están etiquetadas como 'g' para sus órdenes de giro central.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Solo el subgrupo 'g17' no tiene grados de libertad, pero puede verse como grafo dirigido.

Polígonos relacionados

Heptadecagramos

Un heptadecagrama es un estrella (figura geométrica) de 17 lados. Hay siete formas regulares dadas por Símbolo de Schläflis: {17/2}, {17/3}, {17/4}, {17/5}, {17/6}, {17/7} y {17/8 }. Dado que 17 es un número primo, todos estos son estrellas regulares y no cifras compuestas.

Picture	{17/2}	{17/3}	{17/4}	{17/5}	{17/6}	{17/7}	{17/8}
Interior angle	≈137.647°	≈116.471°	≈95.2941°	≈74.1176°	≈52.9412°	≈31.7647°	≈10.5882°

Polígonos de Petrie

El heptadecágono regular es el Polígono de Petrie para un politopo convexo regular de mayor dimensión, proyectado en un sesgo operador de proyección:

símplex (16D)

Lecturas relacionadas

• Dunham, William (September 1996). «1996—a triple anniversary». Math Horizons 4: 8-13. doi:10.1080/10724117.1996.11974982. Consultado el 6 December 2009. 
• Klein, Felix et al. Famous Problems and Other Monographs. – Describes the algebraic aspect, by Gauss.

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Heptadecágono.
• Weisstein, Eric W. «Heptadecagon». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.  Contains a description of the construction.
• Constructing the Heptadecagon
• Heptadecagon trigonometric functions
• heptadecagon building New R&D center for SolarUK
• BBC video of New R&D center for SolarUK
• Eisenbud, David. «The Amazing Heptadecagon (17-gon)» (Video). Brady Haran. Consultado el 2 March 2015. 
• heptadecagon

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre heptadecágonos.

• Datos: Q542476
• Multimedia: 17-gons / Q542476