Congruencia (geometría)

Un ejemplo de movimiento o congruencia. Las dos figuras de la izquierda son congruentes, mientras que la tercera es semejante a ellas. La última no es ninguna de las dos cosas. Nótese que los movimientos cambian propiedades de las figuras como la posición de estas, pero dejan inalteradas otras como las distancias y los ángulos.

En geometría, dos conjuntos de puntos son congruentes (o también, están relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una transformación que es combinación de translaciones, rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.

Definición de congruencia en geometría analítica

En la geometría euclidiana, la congruencia es fundamental; es lo equivalente a igualdad en números. En geometría analítica, la congruencia puede ser definida así: dos figuras determinadas por puntos sobre un sistema de coordenadas cartesianas son congruentes si y solo si, para cualquier par de puntos en la primera figura, la distancia euclidiana entre ellos es igual a la distancia euclidiana entre los puntos correspondientes en la segunda figura.

Una definición mas formal: dos subconjuntos A y B de un espacio euclídeo Rⁿ son llamados congruentes si existe una isometría f : Rⁿ → Rⁿ (un elemento del grupo euclideo E(n)) con f(A) = B. Congruencia es una relación de equivalencia.

Ángulos congruentes

	Los ángulos α y β son congruentes y opuestos por el vértice.
	Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes. En esta imagen podemos ver que están marcados por el mismo color.

Se denomina ángulos congruentes a aquellos ángulos que tienen la misma medida.

Los ángulos opuestos por el vértice son un ejemplo de ángulos congruentes. Las diagonales de un paralelogramo configuran ángulos opuestos por el vértice congruentes.

Congruencia de triángulos

La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan ángulos y lados de igual medida o congruentes.

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Si el triángulo ABC es congruente al triángulo DEF, la relación puede ser escrita matemáticamente así:

$\triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DEF}$

En muchos casos es suficiente establecer la igualdad entre tres partes correspondientes y usar uno de los siguientes criterios para deducir la congruencia de dos triángulos.

Criterios de congruencia de triángulos

Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan criterios de congruencia, los cuales son:

• Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes.
• Criterio LAL: Si los lados que forman un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
• Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
• Criterio AAL: Si dos ángulos y el lado que no esta entre ellos son respectivamente congruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes.

Véase también

Relaciones aritméticas entre ángulos:

• Ángulos complementarios
• Ángulos suplementarios
• Ángulos conjugados

Relaciones posicionales entre ángulos:

• Ángulos adyacentes
• Ángulos consecutivos
• Ángulos opuestos por el vértice
• Ángulos interiores y exteriores

Determinados por dos paralelas y una transversal

• Ángulos correspondientes
• Ángulos alternos

Referencias

• Este artículo fue creado a partir de la traducción del artículo Congruence (geometry) de la Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión, bajo la licencia Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0 Unported y la licencia de documentación libre de GNU.

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Congruencia (geometría). Commons
• http://www.uv.es/ivorra/Libros/Geometria.pdf
• The SSS en Cut-the-Knot
• The SSA en Cut-the-Knot