Polígono de Petrie

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Hepteract
(hipercubo de la séptima dimensión)
Hepteract ortho petrie.svg
El contorno, un polígono regular de 14 lados, es una Proyección ortogonal del polígono de Petrie del hepteract.


En geometría, el polígono de Petrie de un politopo n dimensional, o de un panal (n − 1)–dimensional, es un polígono alabeado tal que cualesquiera n − 1 lados consecutivos, pero no n, pertenecen al polígono de Petrie de una celda.[1] El polígono de Petrie de un polígono regular es el mismo polígono regular. Aquél de un poliedro regular es un polígono alabeado (cuyos vértices no yacen todos en el mismo plano) tal que cada dos lados consecutivos (pero no tres) pertenecen a una de las caras del poliedro.[2]

Para cada politopo regular existe una proyección ortogonal sobre un plano, de tal forma que un polígono de Petrie se convierte en un polígono regular, con el resto de la proyección dentro de éste.[3] Dichoplano es el plano de Coxeter del grupo de simetría del polígono y el número de lados, h, es el número de Coxeter del grupo de Coxeter.

Estos polígonos y sus gráficas proyectadas son útiles en la visualización de la estructura simétrica de los politopos regulares de dimensiones superiores, los cuales son muy difíciles de concebir o imaginar sin ayuda.

Los polígonos de Petrie de los poliedros regulares[editar]

El polígono de Petrie del poliedro regular {pq} tiene h lados, donde

cos2(π/h) = cos2(π/p) + cos2(π/q).

Los Poliedros duales regulares, {p,q} y {q,p}, están contenidos dentro del mismo polígono de petrie proyectado.

Polígonos de Petrie para poliedros regulares (polígonos rojos)
Petrie polygons.png
tetraedro cubo octaedro dodecaedro icosaedro
centrado en las aristas centrado en los vértices centrado en las caras centrado en las caras centrado en los vértices
4 lados 6 lados 6 lados 10 lados 10 lados
V:(4,0) V:(6,2) V:(6,0) V:(10,10,0) V:(10,2)
Los polígonos de Petrie son el exterior de estas proyecciones ortogonales. Los polígonos azules muestran aristas traídas al frente, mientras que las líneas negras muestran aristas llevadas detrás.

Los anillos concéntricos de vértices se cuentan comenzando desde el exterior hacia el interior con la anotación: V:(ab, ...), acabando en un cero si no hay vértices centrales.

Los polígonos de Petrie de los policoros regulares (4-politopos)[editar]

El polígono de Petrie del policoro regular{pq ,r} también puede ser determinado.

4-simplex t0.svg
{3,3,3}

Pentácoron
5 lados
V:(5,0)
4-orthoplex.svg
{3,3,4}

Hexadecacoron
8 lados
V:(8,0)
4-cube graph.svg
{4,3,3}

Hipercubo
8 lados
V:(8,8,0)
24-cell t0 F4.svg
{3,4,3}

Icositetracoron
12 lados
V:(12,6,6,0)
120-cell graph H4.svg
{5,3,3}

Hecatonicosacoron
30 lados
V:((30,60)3,603,30,60,0)
600-cell graph H4.svg
{3,3,5}

Hexacosicoron
30 lados
V:(30,30,30,30,0)

Notas[editar]

  1. Coxeter (1973). Regular polytopes, cap. xii «The generalized Petrie polygon», §12·4 The Petrie polygon of {p, q, ..., w}, págs. 223−225.
  2. Coxeter, op. cit., cap. ii «Regular and quasi–regular solids», §2·6 Petrie polygons, págs. 24-25.
  3. Ball; Coxeter (1987). Mathematical recreations and essays, cap. v «Polyhedra», pág. 135.

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]