Trapecio (geometría)

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En geometría, se llama trapecio a un cuadrilátero convexo que tiene exactamente dos lados paralelos .[1] [2] Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia y el segmento perpendicular entre ellos altura. Se denomina mediana al segmento que tiene por extremos los puntos medios de los lados no paralelos: estos se llaman laterales [3] .

En los circos se usan trapecios.

Esta definición de trapecio determina tres clase de cuadriláteros convexos: trapezoides, ningún par de lados paralelos; trapecios, un solo par de lados paralelos; paralelogramos, dos pares de lados paralelos. [4]

Los trapecios respecto a sus ángulos internos, pueden ser rectángulos, isósceles o escalenos:

Trapecio rectángulo
Trapecio isósceles
Trapecio escaleno
  • Trapecio rectángulo es el que tiene un lado perpendicular a sus bases.
Tiene dos ángulos internos rectos, uno agudo y otro obtuso.
Se puede descomponer en un triángulo rectángulo y un triángulo cualquiera, trazando la diagonal del vértice adjunto a la base menor al vértice del ángulo agudo.
Se puede descomponer, también, en un rectángulo y un triángulo rectángulo, mediante un segmento paralelo al lado biperpendicular trazadoo del ángulo del vértice del ángulo obtuso a la base mayor.
  • Trapecio isósceles es el que tiene los lados no paralelos de igual medida.
Tiene dos ángulos internos agudos y dos obtusos, que son iguales entre sí.
Las diagonales son congruentes.
la suma de los ángulos opuestos es 180°.
El teorema de Euler, en el caso de un trapecio isósceles, se reduce a
a^2+b^2+2c^2 = 2d^2+4m^2\,

, siendo a y b las bases, c el lado igual y d la diagonal y m el segmento que une los puntos medios de las diagonales.

  • Trapecio escaleno es el que no es isósceles ni rectángulo, la medida de sus lados da como resultado medidas diferentes.
Sus cuatro ángulos internos poseen diferentes medidas.


Propiedades[editar]

Mediana: es la distancia que hay
entre los puntos F1 y F2.
  • El segmento que une los puntos medios de sus diagonales es paralela a las bases del trapecio y mide la diferencia de las bases.
  • Un trapecio, no rectángulo, puede descomponerse en dos triángulos rectángulos y un rectángulo mediante alturas trazadas de los extremos de la base menor a la base mayor. [5]
  • Si los lados de un trapecio son respectivamente iguales a los de otro trapecio, los trapecios son iguales.
  • Para que un trapecio sea isósceles es necesario y suficiente que los ángulos en la base sean iguales o alternativamente las diagonales sean iguales.
  • Las bisectrices de los ángulos adyacentes de un lado lateral forman un ángulo recto y se intersecan en un punto situado en la mediana del trapecio.[6]
  • Sobre un paralelogramo, a partir de dos vértices opuestos, sobre los lados paralelos tome sendos puntos equidistanes, luego cuando se los une mediante un segmento, se determinan dos trapecios complementarios e iguales. Esto es, todo paralelogramo se puede descomponer en dos trapecios iguales.
  • Todo trapecio isósceles se puede descomponer en dos trapecios rectángulos iguales, mediante un segmento que une los puntos medios de las bases.La recta que contiene al segmento es eje de simetría de las figuras resultantes.
  • El baricentro de un trapecio es un punto ubicado en el segmento que une los baricentros de los triángulos que determina una diagonal, más cerca al baricentro del triángulo de mayor área.

Relaciones métricas[editar]

Mediana[editar]

La longitud de la mediana (m) de un trapecio es igual a la semisuma de la longitud de sus bases (a c):

\ m = \frac {a+c}{2}

Altura[editar]

Trapezoid2.svg

La altura (h) de un trapecio puede calcularse, en función de las dos bases (a c) y de los dos lados (b d), mediante la siguiente ecuación:

h = \frac {\sqrt{4(a-c)^2d^2 -[d^2+(a-c)^2-b^2]^2}}{2(a-c)}

En donde a es la base mayor, c es la base menor, y los lados no paralelos son b y d.

Diagonales y lados[editar]

Teniendo en cuenta que d_2, d_2 son las diagonales, a , b  las bases, c , d los lados no paralelos, n el segmento que conecta los puntos medios de las bases, m la paralela a las bases que para por la intersección de diagonales, se cumplen estas fórmulas

 d_1^2+d_2^2 = c^2+d^2+2ab


 m = \frac{2ab}{a+b}d_1^2+d_2^2


 n = \frac{1}{2}\sqrt{2(c^2+d^2+ab)- (a^2+b^2)}


 n = \frac{1}{2}\sqrt{2(d_1^2+d_2^2-ab)- (a^2+b^2)}

[7]

Área[editar]

El área A de un trapecio de bases a y c y de altura h es igual a la semisuma de las bases por la altura:

A = \frac{a + c}{2} \cdot{h} .

Si sólo se conocen las longitudes de los cuatro lados:

A = \frac{a+c}{4(|a-c|)}\sqrt{(-a+b+c+d)(-a-b+c+d)(-a-b+c-d)(a-b-c+d)}

Donde a y c son las bases del trapecio.

Caso isosceles[editar]

Siendo a la base mayor; b, la base menor; c =d, los lados no paralelos; γ, ángulo en la base mayor, resulta el área:

 A = (a-cos\gamma)csen\gamma = (b+ccos\gamma)csen\gamma

[8]

Trapecio e historia[editar]

Las puertas de las construcciones incaicas tenían su vano en forma de trapecio isósceles, con la base menor hacia arriba. No llevaban nada que abriera o cerrara.[9]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Weisstein, Eric W. «Trapecio». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  2. Simmons, Bruce (2011), «trapezoid» (en inglés), Mathwords, http://www.mathwords.com/t/trapezoid.htm 
  3. Dolciani et al. Geometría Moderna
  4. Moise- Downs y Keedy- Nelsson plantean que un trapecio es un cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos, dando la posibilidad que pudieran tener hasta dos pares de lados paralelos.
  5. Helfgott. Geometría plana
  6. Edgar de Alencar Filho. Geometría Plana
  7. García Ardura. Problemas gráficos y numéricos de Geometría
  8. Heddy Ilasaca. Formulario de ciencias ISBN 978-612-4005-36-7
  9. Francisco calderón Quillatupa. Diccionario ideológico de Runa simi (2013) Huancayo, Perú.

Enlaces externos[editar]