Resolución de ecuaciones

En matemática, la resolución de una ecuación es el procedimiento de cálculo para encontrar cuáles son los valores (números, funciones, conjuntos, etc.) que cumplen la condición indicada como una igualdad (una ecuación). Estos valores se suelen denominar raíces de la ecuación. La resolución de ecuaciones polinómicas, o algebraicas, juega un papel importante en el nacimiento y posterior desarrollo del álgebra. La rama de las matemáticas que las estudia es la teoría de ecuaciones.​

Una ecuación comprende expresiones con variables indefinidas, o incógnitas, que deben ser sustituidas por valores de forma tal que la igualdad sea cierta. Para caracterizar las soluciones de una ecuación se imponen restricciones sobre las incógnitas. En general, se pide que pertenezcan a un conjunto numérico específico.

La resolución de ecuaciones lineales, cuadráticas, cúbicas y cuárticas mediante factorización de raíces es bastante sencilla cuando las raíces son racionales o reales; también hay fórmulas que proporcionan las soluciones. Sin embargo, no hay una fórmula general en términos de raíces para las ecuaciones de quinto grado sobre los racionales; mediante un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces. Esto lo probó por primera vez el teorema de Abel-Ruffini, publicado en 1824, que fue una de las primeras aplicaciones de la teoría de grupos en el álgebra. Este resultado también se cumple para ecuaciones de mayor grado.

Definición de ecuación

Dada una función $f:A\to B$ y un elemento b del conjunto B, codominio de f.

La igualdad $f(x)=b$ es una ecuación.

En la ecuación dada, x se denomina incógnita.

Un ejemplo de ecuación es el siguiente, tomando $f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} ,f(x)=3x-2$ y $b=1$ se tiene $3x-2=1.$

Los conjuntos A y B no son necesariamente numéricos. Si se considera por ejemplo A como un conjunto de funciones reales, resolver la ecuación significa encontrar una función del tipo $Y:\mathbb {R} \to \mathbb {R} .$ Algunos ejemplos de estos tipos de ecuaciones son $3x^{3}-2Y^{5}(x)=4$ o bien la ecuación diferencial ordinaria $10\,Y^{4}(x)\,Y'(x)-9x^{2}=0$.

Soluciones de una ecuación

El conjunto solución es aquel que contiene todos los valores determinados que cumplen con la ecuación, y estos valores son denominados soluciones. Por ejemplo, la ecuación

$3x-2=1$

tiene a ${\mathcal {S}}=\{1\}$ como su conjunto solución, con 1 como única solución de la ecuación.

En general, dada $f:A\to B$ una función, y $f(x)=b$ la ecuación que determina.

El conjunto ${\mathcal {S}}=\{a_{1},a_{2},\dots \}$ de valores de A es el conjunto solución si se cumple $f(a_{i})=b$, para los $a_{i}$ pertenecientes a ${\mathcal {S}}$.

El conjunto de soluciones puede ser

• vacío (no hay soluciones),
• unitario (existe exactamente una solución),
• finito (existe un número finito de soluciones) o
• infinito.

Ejemplos

La ecuación $f(x)=-1$ donde $f$ es una función que cumple:

${\begin{matrix}f:&\mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\longmapsto &x^{2}\end{matrix}}$

Tiene como conjunto solución {}, en el sentido de que no existe ningún número real positivo que resuelve la ecuación. Puede modificarse el dominio de la función f para encontrar soluciones para la ecuación:

${\begin{matrix}f:&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\&x&\longmapsto &x^{2}\end{matrix}}$

Entonces el conjunto solución es {i, -i}, donde i es la unidad imaginaria. Esta ecuación tiene exactamente dos soluciones.

Para la ecuación $x=x+1$ no hay ningún valor de x que la satisface. Esto es independiente del conjunto A sobre el cual está definida la variable x.

La ecuación $x=x$ es válida para cualquier valor de x. Este tipo de igualdades se denominan identidades.

Métodos de solución

En casos simples, es relativamente fácil resolver una ecuación siempre y cuando se satisfagan ciertas condiciones. Sin embargo, en casos más complicados, es difícil o engorroso obtener expresiones simbólicas para las soluciones, y por ello a veces se utilizan soluciones numéricas aproximadas.

Funciones inversas

Para el caso simple de una función de una variable, por ejemplo, h(x), se puede resolver una ecuación del tipo

h(x) = c, c constante

si se tiene en cuenta lo que se denomina la función inversa de h.

Dada una función h : A → B, la función inversa, identificada como h^-1, se define como h^-1 : B → A es una función tal que

h^-1(h(x)) = h(h^-1(x)) = x.

Ahora, si se aplica la función inversa de ambos lados de la igualdad

h(x)=c, c constante

se obtiene

h^-1(h(x))=h^-1(c)

x = h^-1(c)

y se ha encontrado la solución de la ecuación. Sin embargo, dependiendo de la función, puede ser difícil definir la inversa, o puede que no sea una función en todo el conjunto B (solo por ejemplo en un subconjunto), y tener muchos valores para un dado punto.

Ejemplos

Si x aparece como sumando en la ecuación, se suma el término opuesto (con el signo cambiado) a ambos lados de la ecuación para obtener x. Si x aparece multiplicando, entonces se multiplican ambos lados de la ecuación por su número recíproco. Si x es un exponente en una ecuación exponencial, se aplica el logaritmo en una base adecuada a ambos lados de la ecuación. Si x es la base de una ecuación de potencia, se aplica la raíz correspondiente a ambos lados de la ecuación. Si x es el ángulo en una ecuación trigonométrica, se aplica la función trigonométrica inversa a ambos lados de la ecuación.

Ejemplo 1

Sea la ecuación cúbica $2t^{3}+6t^{2}+12t+10=0\,$, Se procederá a resolverla, para ello, se siguen los siguientes pasos.

• $t^{3}+3t^{2}+6t+5=0\,$ (al dividir por 2)
• Con x = t + 1, es decir t = x - 1, reemplazando:

$(x-1)^{3}+3(x-1)^{2}+6(x-1)+5=0\,$, y desarrollando, se obtiene la ecuación en forma reducida $x^{3}+3x+1=0\,$.

• x = u + v, U = u³, V = v³ y se impone U + V = - 1 y UV = - 1. U y V son las raíces de X² + X - 1 = 0.
• Se despeja U, V y t.

$U={\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}\,$ y $V={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\,$, luego $u={\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}}\,$ y $v={\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}\,$.

Por lo tanto

$t=x-1=u+v-1={\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}-1\approx -1,3221853546$

Métodos numéricos

En ecuaciones más complicadas, los métodos simples de solución de ecuaciones puede ser no sean apropiados. En ciertos casos, se puede usar un algoritmo de búsqueda de raíces para encontrar la solución numérica a una ecuación, que en ciertos casos es más que suficiente para resolver algunos problemas.

Series de Taylor

Un área de la matemáticas se ha enfocado en la creación de alguna función más simple para aproximar a una función compleja, en las cercanías o entorno de un dado punto. En efecto, se pueden utilizar polinomios en una o varias variables para aproximar funciones - un ejemplo de estos polinomios son las series de Taylor.

Resolución de otras ecuaciones

Se debe notar que es posible crear ecuaciones aún más complicadas, mediante el uso de operadores diferenciales, matrices, y otros operadores matemáticos. En todos estos casos se mantiene el principio de que la resolución de la ecuación es la búsqueda de los valores que hacen que la ecuación se satisfaga, solo que dependiendo de los operadores matemáticos involucrados será necesario utilizar diferentes estrategias o métodos para resolver las ecuaciones.

Véase también

• Ecuación
• Ecuación diferencial
• Análisis matemático
• Análisis numérico
• Sistema de ecuaciones
• Resolución numérica de ecuaciones no lineales
• Completar el cuadrado