Ecuación diferencial ordinaria

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La trayectoria de un proyectil lanzado desde un cañón sigue una curva definida por una ecuación diferencial ordinaria que se deriva de la segunda ley de Newton.

En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es la que contiene una función desconocida de una variable independiente y relaciona con sus derivadas:

Recursos de la física, la ingeniería, la economía, la meteorología y en aplicaciones como las de modelado en ciencias, se las estudia en diversas áreas (como geometría, mecánica y astronomía) y perspectivas. Matemáticamente es de crucial interés el conjunto de funciones que satisfacen la ecuación y establecen sus soluciones. Sólo las ecuaciones diferenciales más sencillas admiten soluciones dadas por fórmulas explícitas (como las lineales asociadas a una teoría desarrollada prácticamente por completo). No obstante, pueden determinarse algunas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial sin requerirse su formulación exacta. Clave para resolver la mayoría de las ecuaciones diferenciales no lineales de sumo interés en numeroso casos. Casos carentes de una fórmula auto-contenida para su solución que se suple con la aproximada numéricamente con el auxilio crucial de las computadoras.

La matemática pura centra el foco formal en la solución, su existencia y si es o no única. La aplicada controla la validez de los métodos para la solución numéricamente aproximada y el rigor de las justificaciones con que se los sustenta.
La teoría de los sistemas dinámicos prioriza el análisis cualitativo de sistemas descriptos por ecuaciones diferenciales mientras se han venido sumando numerosos métodos numéricos para determinar soluciones con un grado dado de precisión.

Introducción[editar]

En ingeniería, ciencias naturales y sociales hay muchos problemas de interés que, cuando se plantean, exigen la determinación de una función la cual debe verificar una ecuación que involucra derivadas de la función desconocida. Dichas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales. Tal vez el ejemplo más conocido es la ley de Newton:[1]

m\frac{\mathrm{d}^2u(t)}{\mathrm{d}t^2} =
F\left(t, u(t), \frac{\mathrm{d}u(t)}{\mathrm{d}t}\right)

Importancia[editar]

Isaac Newton se daba cuenta de la importancia que tenían las ecuaciones diferenciales para el análisis de los fenómenos de la naturaleza. Por algo sus renombrados "Principios matemáticos de la filosofía natural" (1687) que engloban mecánica newtoniana , arrancan con la ecuación diferencial del movimiento. Esta ecuación se considera como axioma, mientras que los planteamientos posteriores de la mecánica son, de hecho, teoremas que se derivan de dicho axioma, así como de la ley de gravitación universal que se desgaja de los hechos experimentales (leyes de Kepler) y del mencionado axioma: md2/dt2 = F [2] .

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) puede plantearse, siendo F una relación o función, como

(1a)\ F(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)}) = 0

... para representar la EDO en que la función incógnita (también conocida como variable dependiente), lo es de una única variable independente.

En general, una ecuación diferencial lineal de orden n puede formularse, siendo cada a_i una función dependiente de t, como:

(1b)\ a_n(t)y^{(n)}+a_{n-1}(t) y^{(n-1)}+\ldots+a_1(t) y'+a_0(t) y = g(t)

Una solución de la ecuación (1a) o (1b) será una "familia" de curvas o funciones del tipo y = f(t)\, que substituida dentro de la ecuación la convierte en una igualdad en la que todos los términos son conocidos.

En la formulación más simple, la función incógnita es una función para cierto valor real o complejo pero con mayor generalidad, puede serlo para el valor de un vector o matriz, lo que lleva a considerar un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) para una única función.

Definiciones[editar]

Ecuación diferencial ordinaria[editar]

Si y es una función desconocida:

y: \mathbb{R} \to \mathbb{R}

de x siendo y^{(n)} la enésima derivada de y, entonces una ecuación de la forma

(1)F(x,y,y',\ \dots,\ y^{(n-1)})=y^{(n)}

es llamada una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden n. Para funciones vectoriales,

y: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^m,

la ecuación (1) es llamada un sistema de ecuaciones lineales diferenciales de dimensión m.

Cuando una ecuación diferencial de orden n tiene la forma

F\left(x, y, y', y'',\ \dots,\ y^{(n)}\right) = 0

es llamada una ecuación diferencial implícita, mientras que en la forma

F\left(x, y, y', y'',\ \dots,\ y^{(n-1)}\right) = y^{(n)}

es llamada una ecuación diferencial explícita.

Una ecuación diferencial que no depende de x es denominada autónoma.

Se dice que una ecuación diferencial es lineal si F puede ser escrita como una combinación lineal de las derivadas de y

y^{(n)} = \sum_{i=0}^{n-1} a_i(x) y^{(i)} + r(x)

siendo, tanto ai(x) como r(x) funciones continuas de x. La función r(x) es llamada el término fuente (traducido del inglés source term); si r(x)=0 la ecuación diferencial lineal es llamada homogénea, de lo contrario es llamada no homogénea.

Soluciones[editar]

Dada una ecuación diferencial

F(x, y, y', \dots, y^{(n)}) = 0 ,

una función u: IRR es llamada la solución, y su gráfica se llama curva integral de F [3] , si u es n veces derivable en I, y

F(x,u,u',\ \dots,\ u^{(n)})=0 \quad x \in I.

Dadas dos soluciones u: JRR y v: IRR, u es llamada una extensión de v si IJ, y

u(x) = v(x) \quad x \in I.\,

Una solución que no tiene extensión es llamada una solución general[cita requerida].

Una solución general de una ecuación de orden n es una solución que contiene n variables arbitrarias, correspondientes a n constantes de integración. Una solución particular es derivada de la solución general mediante la fijación de valores particulares para las constantes, a menudo elegidas para cumplir condiciones iniciales. Una solución singular es la que no puede derivarse de la general.

Solución de una EDO de primer orden[editar]

Sea y' = f(x,y) (1)

una ecuación de primer orden resuelta con respecto a la derivada, se llama su solución general de la ecuación difrencial (1) una función

y = φ(x, C),

que depende de una constante arbitraria C . Satisface la EDO (1) para cualquier valor de la constante C. Además cualquiera que sea la condición inicial

(y(x0) = y0) (2),

siempre se puede asignar un valor C0 a la constante C, tal que la función y = φ(x, C0) satisfaga la condición inicial dada. Se presume que el punto (x0, y0) esta en la región donde se cumplen las condiciones de existencia y de unicidad de la solución[4] .

Tipos de EDOs y forma de resolución[editar]

Existen diversos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias, cada una con una forma de resolución distinta; para clasificarlas, hay que hacer la diferencia entre ecuaciones diferenciales de primer orden y ecuaciones de orden superior (ya que las primeras son, por lo general, de más fácil resolución).

Existencia y unicidad de soluciones[editar]

El teorema de Peano-Picard garantiza la existencia de una solución y su unicidad para toda ecuación diferencial ordinaria lineal con coeficientes continuos en un intervalo tiene solución única en dicho intervalo. Para el caso de ecuaciones diferenciales no lineales no existen resultados análogos al de Peano-Picard.

El teorema de Peano-Picard demuestra la existencia mediante una demostración constructiva, para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Puesto que toda ecuación diferencial lineal de orden arbitrario puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, se sigue del teorema de Peano-Picard la existencia y unicidad de la solución. La idea del teorema es simple construye una sucesión de Cauchy funciones cuyo límite es precisamente la solución del sistema. La demostración de la unicidad por otra parte resulta trivial.

Soluciones analíticas[editar]

Existen métodos de resolución generales para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales que permiten encontrar soluciones analíticas. En particular si los coeficientes de la ecuación lineal son constantes o periódicos la solución es casi siempre fácil de construir. Para coeficientes no constantes o no periódicos, pero que son desarrollables en serie de Taylor o serie de Laurent es aplicable con ciertas restricciones el método de Frobenius. Otra posibilidad es reducir una ecuación diferencial lineal de orden n a un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Para las ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales no existen métodos generales.

Soluciones numéricas[editar]

Algunos de los métodos de solución numérica de ecuaciones diferenciales son el método de Runge-Kutta, los métodos multipaso y los métodos de extrapolación.


Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden[editar]

Una ecuación diferencial de primer orden con la condición inicial se expresa de la siguiente forma:

[L] = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {\cfrac{{dy}}{{dt}} = f(t,y)}  \\
   {y(t_0 ) = y_0 }  \\ \end{array} } \right.

Donde y(t_0) = y_0\, es la condición inicial.

Entre los tipos de EDOs de primer orden se encuentran:[5]

Ecuación de variables separables[editar]

Son EDOs de la forma:

\frac{dy}{dt} = f(t,y)

En donde es posible "despejar" todos los términos con la variable dependiente en función de la variable independiente, quedando ahora la ecuación:

\ g(y)dy=h(t)dt

En donde se procede integrando ambos miembros de la ecuación

\int g(y)dy=\int h(t)dt

De donde es posible obtener la solución

Ecuación exacta[editar]

Una ecuación de la forma:

M(x, y)\, dx + N(x, y)\, dy = 0, \,\!

se dice exacta si existe una función F que cumpla:

\frac{\partial F}{\partial x}(x, y) = M

y

\frac{\partial F}{\partial y}(x, y) = N.

Su solución es entonces:

F(x, y) = C.\,

EDO de primer orden y homogénea[editar]

La ecuación diferencial ordinaria de primer orden:

y' = f(x,y), \qquad \mbox{con}\ f(tx,ty)=tf(x,y), \forall t\ne 0

Para resolver se usa la sustitución y=xv, siendo v= v(x) una función desconocida. Sin embargo, la palabra ' homogénea' asume otro significado, dentro del estudio de las EDOs, fuera de este contexto.

Ecuación lineal[editar]

Una ecuación diferencial es lineal si presenta la forma:

y'+ P(x)y = Q(x)\,

Y que tienen por solución:

y(x) =e^{ - \int P(x) dx } \left( C + \int Q(x) e^{ \int P(x) dx } dx \right)

Como se puede apreciar, esta ecuación es una ecuación diferencial de Bernoulli, con n=0.

Ecuación de Bernoulli[editar]

Una ecuación diferencial de Bernoulli, que es a su vez una generalización de la ecuación diferencial lineal, fue formulada por Jakob Bernoulli y resuelta por su hermano, Johann Bernoulli y presenta la forma:

y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,

En la cual, si se hace la sustitución  z=y^{1-n}, la ecuación se transforma en una ecuación lineal con z como variable dependiente, resolviéndose de manera análoga.

Ecuación de Riccati[editar]

Esta ecuación diferencial introducida por Jacopo Francesco Riccati presenta la estructura:

y'(x) + P(x)y^2 + Q(x)y + R(x)=0\,

Para resolverla, se debe hacer la sustitución  y=y_{p}+ \frac{1}{z}, donde  y_{p} es una solución particular cualquiera de la ecuación.

Ecuación de Lagrange[editar]

Una ecuación diferencial de Lagrange [cita requerida] presenta la forma:

y=g(y')x + f(y')\,

Resolviéndose con la sustitución  y'=p , obteniéndose una solución general y una solución particular.

Ecuación de Clairaut[editar]

Una ecuación diferencial de Clairaut, llamada así en honor a Alexis-Claude Clairaut, tiene la forma:

y= xy' + f(y')\,

Como se puede apreciar, esta ecuación es una forma particular de la ecuación diferencial de Lagrange, con  g(y')=y' , por lo cual, su resolución es análoga a la anterior.

Ecuación de Jacobi[editar]

Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden[editar]

Muchos problemas físicos importantes tanto en mecánica como en electromagnetismo conllevan la resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Ecuación lineal con coeficientes constantes[editar]

La ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma:

a\frac{d^2 y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = f(x)

La resolución de esta ecuación depende de las raíces del polinomio característico:

a\lambda^2 + b\lambda + c = 0\,

En función de cómo sean las raíces de dicho polinomio se distinguen tres casos posibles y distintos:

  • Caso 1: dos raíces reales y distintas (\lambda_1 \ne \lambda_2)\,, en este caso la solución general tiene la forma:

y(x) = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x} +
\frac{e^{\lambda_1x}}{\lambda_1 - \lambda_2}\int_{x_0}^x e^{-\lambda_1u}f(u)du +
\frac{e^{\lambda_2x}}{\lambda_2 - \lambda_1}\int_{x_0}^x e^{-\lambda_2u}f(u)du

  • Caso 2: dos raíces reales e iguales (\lambda_1 = \lambda_2)\,, en este caso la solución general tiene la forma:

y(x) = C_1e^{\lambda_1x} + C_2xe^{\lambda_1x} +
xe^{\lambda_1x}\int_{x_0}^x e^{-\lambda_1u}f(u)du -
e^{\lambda_1x}\int_{x_0}^x xe^{-\lambda_2u}f(u)du

  • Caso 3: dos raíces complejas conjugadas (\lambda_1 = p+qi, \lambda_2 = p-qi)\,, en este caso la solución general tiene la forma:

y(x) = e^{px}(C_1\cos qx + C_2\sin qx) +
\frac{e^{px}\sin qx}{q} \int_{x_0}^x e^{-pu}f(u)\cos qu\ du -
\frac{e^{px}\cos qx}{q} \int_{x_0}^x e^{-pu}f(u)\sin qu\ du

El último término de esta última ecuación está relacionado con la integral de Duhamel.

Ecuación diferencial de Euler o de Cauchy[editar]

Esta ecuación tiene la forma:

x^2\frac{d^2y}{dx^2}+ax\frac{dy}{dx}+by= g(x)

Y puede resolverse mediante el cambio de variable x = e^t\, que transforma la ecuación anterior en una ecuación de coeficientes constantes resoluble por los métodos de la sección anterior:

\frac{d^2\bar{y}}{dt^2}+(a-1)\frac{d\bar{y}}{dt}+b\bar{y}= g(e^t),
\qquad \bar{y}(t) = y(e^t)

Ecuaciones de Bessel[editar]

La ecuación diferencial de Bessel, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas cilíndricas. Dicha ecuación tiene la forma:

x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-n^2)y=0

Esta ecuación es resoluble mediante las llamadas funciones de Bessel:

y(x) = C_1 J_n(x) + C_2 Y_n(x)\,

Además de esta ecuación existe otra ecuación resoluble mediante funciones de Bessel. La ecuación diferencial de Bessel modificada, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas cilíndricas. Dicha ecuación tiene la forma:

x^2\frac{d^2y}{dx^2}+(2p+1)x\frac{dy}{dx}+(\alpha x^{2r}+\beta^2)y=0

Cuya solución viene dada por:

y(x) = x^{-p}\left[C_1 J_{q/r}\left(\frac{\alpha}{r}x^r\right) +
C_2 Y_{q/r}\left(\frac{\alpha}{r}x^r\right)\right], \qquad q:=\sqrt{p^2-\beta^2}

Ecuación de Legendre[editar]

La ecuación diferencial de Legendre, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas esféricas. La ecuación tiene la forma:

(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-2x\frac{dy}{dx}+n(n+1)y=0

Cuando n es un entero una de las dos soluciones independientes que conforman la solución general de la ecuación anterior es el polinomio de Legendre de grado n:

P_n(x) = \frac{1}{2^nn!}\ \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n

Las solución general puede expresarse en la forma:

y(x) = C_1 U_n(x) + C_2 V_n(x)\,, o bien, = y(x) = \bar{C}_1 P_n(x) + \bar{C}_2 Q_n(x)

Donde:

\begin{cases}
U_n(x) = 1- \cfrac{n(n+1)}{2!}x^2 + \cfrac{n(n-2)(n+1)(n+3)}{4!}x^4 - \ldots \\
V_n(x) = x- \cfrac{(n-1)(n+2)}{3!}x^3 + \cfrac{(n-1)(n-3)(n+2)(n+4)}{5!}x^5 - \ldots
\end{cases}

P_n(x) = \begin{cases}
U_n(x)/U_n(1) & n = 0,2,4, \ldots \\
V_n(x)/V_n(1) & n = 1,3,5, \ldots \end{cases}, y Q_n(x) = \begin{cases}
V_n(x)U_n(1) & n = 0,2,4, \ldots \\
-U_n(x)V_n(1) & n = 1,3,5, \ldots \end{cases}

Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior[editar]

Ecuación lineal de orden n con coeficientes constantes[editar]

La ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes es de la siguiente forma:

\ a_ny^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\ldots+a_1y'+a_0 y = g(t)

Donde los términos a_i\, representan constantes  \forall i \in \mathbb{N} En el caso homogéneo cuando el segundo miembro es idénticamente nulo, las soluciones de esta ecuación se pueden obtener a partir de la raíces del polinomio característico de la ecuación:

\ a_n\lambda^{n}+a_{n-1} \lambda^{n-1}+\ldots+a_1\lambda+a_0 = 0

En el caso de que todas las raíces sean diferentes la solución viene dada por:

y(x) = C_1 e^{\lambda_1x}+ \ldots + C_n e^{\lambda_nx} =
\sum_{i=1}^n C_i e^{\lambda_i x}

En el caso de que existan varias raíces múltiples, existiendo sólo k raíces diferentes y siendo m_i la multiplicidad de la raíz i-ésima, la solución general es de la forma:

y(x) = \sum_{i=1}^k \left(C_{i,0} +C_{i,1}x+\ldots + C_{i,m_i-1}x^{m_i-1}\right) e^{\lambda_i x} = \sum_{i=1}^k \left(\sum_{j=0}^{m_i-1} C_{i,j}x^j \right) e^{\lambda_i x},
\quad k \le n,\ \sum_{j=1}^k m_j = n

Las multiplicidades de cada raíz son el exponente de la siguiente descomposición:

a_n(\lambda-\lambda_1)^{m_1}\ldots(\lambda-\lambda_k)^{m_k} =
a_n\lambda^{n}+a_{n-1} \lambda^{n-1}+\ldots+a_1\lambda+a_0 = 0

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. "Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera" (1991) Boyce and Di Prima; ISBN 968-18-0107-5, pp.17
  2. Matemáticas superiores " (1987) Zeldóvich Ya. y Yaglom, I, sin ISBN, pp. 210 y 211
  3. "Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias" (1987) Kiseliov; Krasnov; Makarenko; Editorial Latinoamericana : pág.10
  4. "Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias" (1987) Kiseliov; Krasnov; Makarenko; Editorial Latinoamericana : pág.11 y 12
  5. José Ignacio Aranda Iriarte (2007). apuntes de ecuaciones diferenciales I. Capítulo 1 (ecuaciones de primer orden)

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]