Entorno (matemática)

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Un conjunto en el plano es un entorno de un punto si un pequeño disco alrededor de está contenido en .
Un rectángulo no es un entorno de ninguna de sus esquinas.

Un entorno (o vecindad)[1]​ es uno de los conceptos básicos de la topología. Además, este concepto se utiliza en muchas otras áreas de las matemáticas como el análisis y la teoría de la probabilidad. Intuitivamente hablando, un entorno de un punto es un conjunto que contiene al punto y a un conjunto de los puntos más próximos a él. El aspecto geográfico de vecindad en un lugar se refleja en este concepto matemático.

El concepto de entorno está estrechamente relacionado con los conceptos de conjunto abierto y punto interior.

Definición[editar]

Si (X,Τ) es un espacio topológico y p es un punto perteneciente a X, un entorno de p es un conjunto V en el que está contenido un conjunto abierto U que tiene como elemento al punto p,

Nótese que el entorno V no tiene por qué ser un conjunto abierto. Si V es abierto se denomina entorno abierto. Algunos autores especifican que los entornos deben ser abiertos, por lo que es importante prestar cuidado a las diferentes definiciones.

El conjunto de todos los entornos de un punto se denomina sistema completo de entornos del punto.

Si S es un subconjunto de X, un entorno de S es un conjunto V, que contiene un conjunto abierto U que contiene a S. Se deduce que un conjunto V es un entorno de S si y solo si es un entorno de todos los puntos de S.

Clases de entorno[editar]

  • Entorno reducido: un entorno de un punto es un entorno reducido si el propio punto no pertenece al mismo. Es decir, está compuesto solamente por los puntos cercanos a . Nótese que, a pesar de su nombre, un entorno reducido no es un entorno propiamente dicho ya que no contiene a .
  • Entornos abiertos: un entorno de un punto es entorno abierto de si es un conjunto abierto (es decir, ).
  • Entornos cerrados: un entorno de un punto es entorno cerrado de si es un conjunto cerrado.
  • Entorno compacto: un entorno de un punto es entorno compacto de si es un conjunto compacto.
  • Entorno conexo: un entorno de un punto es entorno conexo de si es un conjunto conexo
  • Entorno conexo por caminos: un entorno de un punto es entorno conexo por caminos de si es un conjunto conexo por caminos.
  • Entorno simplemente conexo: un entorno de un punto es entorno simplemente conexo de si es un conjunto simplemente conexo.
  • Entorno convexo: un entorno de un punto en un espacio vectorial topológico es entorno convexo de si es un conjunto convexo.

En espacios métricos[editar]

Un conjunto en el plano y un entorno uniforme de .

En un espacio métrico M = (X,d), un conjunto V es un entorno de un punto p si existe una bola abierta con centro p y radio r,

que es contenida en V.

V es llamado entorno uniforme de un conjunto S si existe un número positivo r tal que para todos los elementos p de S,

estén contenidos en V.

Para r>0 el r-entorno de un conjunto S es el conjunto de todos los puntos en X que distan menos de r desde S (o equivalentemente, es la unión de todas las bolas abiertas de radio r que tienen centro en un punto de S).

Se deduce entonces que un r-entorno es un entorno uniforme, y que un conjunto es un entorno uniforme si y solo si contiene un r-entorno para algún valor de r.

Ejemplo[editar]

Entorno de centro a y radio ε.

Dado el conjunto de números reales con la distancia euclideana y un subconjunto V definido como:

entonces V es un entorno del conjunto de números naturales, pero no es un entorno uniforme de este conjunto.

Topología de entornos[editar]

La definición superior es útil si la noción de conjunto abierto está previamente definida. Existe una forma alternativa de definir una topología, primeramente definiendo su base de entornos, y entonces los conjuntos abiertos como aquellos conjuntos que contienen un entorno para cada uno de sus puntos.

Una base de entornos en X es la asignación de un filtro N(x) (en el conjunto X) para cada x en X tal que:

  1. el punto x es un elemento de cada U en N(x).
  2. cada U en N(x) contiene algún V en N(x) tal que para cada y en V, U esté en N(y).

Entorno uniforme[editar]

En un espacio uniforme S:=(X, δ) V es denominado entorno uniforme de P si P no es cercano a X \ V, tal que allí no exista un espacio uniforme que contenga a P y X \ V.

Entorno reducido[editar]

Un entorno reducido de un punto p es un entorno de p, menos {p}. Por ejemplo, el intervalo (−1, 1) = {y : −1 < y < 1} es un entorno de p = 0 en la recta real, entonces el conjunto (−1, 0) ∪ (0, 1) = (−1, 1) − {0} es un entorno reducido de 0.

Propiedades[editar]

Sea (X, T) un espacio topológico, Vc(x) familia de vecindades del punto x.

  1. El punto x está en V para cada V elemento de Vc(x). Un punto está en cualquiera de sus vecindades.
  2. Si las vecindades V y U están en Vc(x), entonces la intersección de V y U está en la familia Vc(x).
  3. Si U está en Vc(x) entonces existe una vecindad V de Vc(x), tal que U está en Vc(y) para cada y miembro de V.
  4. Si U está en Vc(x) y U es subconjunto de V, entonces V está en Vc(x).Un hiperconjunto de una vecindad también es vecindad.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Clara Neira. Notas de Topología

Bibliografía[editar]

  • Kelley, John L. (1975). General topology. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387901256. 
  • Bredon, Glen E. (1993). Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387979263. 
  • Kaplansky, Irving (2001). Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. ISBN 0821826948.