Identidad (matemática)

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En matemáticas, una identidad es la constatación de que dos objetos que matemáticamente se escriben diferente, son de hecho el mismo objeto.[1] En particular, una identidad es una igualdad entre dos expresiones que es cierta sean cuales sean los valores de las distintas variables empleadas.[2] Las identidades suelen utilizarse para transformar una expresión matemática en otra equivalente, particularmente para resolver una ecuación.

Ejemplos[editar]

En el conjunto de los números complejos, la identidad de Euler

 e^{i \pi} + 1 = 0\;

relaciona de manera muy simple los números fundamentales 0; 1; i; π; y e. Esta identidad no relaciona variables sino únicamente constantes matemáticas.

La Identidad de Euler es un caso particular de otra identidad más general dada por la fórmula de Euler para ángulos distintos de pi.

En trigonometría, existen numerosas identidades que facilitan los cálculos. Por ejemplo,

 \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1

es una identidad, cierta para cualquier número real o complejo x.

Identidades notables[editar]

Algunas identidades algebraicas se denominan «notables» y facilitan los cálculos o la factorización de expresiones polinómicas.

Por ejemplo el producto notable (a + b)^2 = a^2 +2ab + b^2, que es cierto sean cuales sean los elementos a y b de un anillo conmutativo.

Identidades aritméticas[editar]

Algunas de las identidades aritméticas más notables son la suma de términos de una progresión aritmética, entre la que se encuentra la suma de los n primeros números naturales (desde el 1 hasta n),

1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}

las fórmulas de Faulhaber para la suma de las potencias de los primeros n números naturales o la suma de los cubos de tres números naturales consecutivos, cuyo valor es múltiplo de 9

 n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 = 9k   \,

Referencias[editar]

  1. Weisstein, Eric W. «Identidad» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. Consultado el 19 de marzo de 2012.
  2. Simmons, Bruce (2011), «Identity (Equation or Inequality)» (en inglés), Mathwords, http://www.mathwords.com/i/identity.htm, consultado el 19 de marzo de 2012